47. Квадратичные формы

Функция переменных называется Квадратичной формой, если

.

Вводя обозначения для вектора переменных и квадратной матрицы с элементами , квадратичную форму можно представить в виде

.

Без потери общности матрицу можно всегда предполагать симметрической. В противном случае следует заменить симметрической матрицей , значения квадратичной формы при этом не изменятся.

Симметрическая матрица называется Неотрицательно определенной, если для всех . При этом пишут .

Симметрическая матрица называется Положительно определенной, если для всех . При этом пишут .

Симметрическая матрица называется Неположительно определенной, если для всех . При этом пишут . Матрица неположительно определенная тогда и только тогда, когда есть неотрицательно определенная матрица.

Симметрическая матрица называется Отрицательно определенной, если для всех . При этом пишут . Матрица отрицательно определенная тогда и только тогда, когда – положительно определенная матрица.

Симметрическая матрица называется Неопределенной, если квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Для установления положительной определенности матрицы составим из ее элементов определители

, , , …,

.

Очевидно, . Определители , , , …, называются Главными диагональными минорами матрицы .

Критерий Сильвестра – Якоби. Для того, чтобы квадратная симметрическая матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные диагональные миноры, включая и определитель матрицы, были положительными.

Таким образом, если для матрицы имеем , , , …, , , то – положительно определенная матрица. Все диагональные элементы положительно определенной матрицы должны быть положительными.

Чтобы установить, что матрица является отрицательно определенной, следует умножить ее на и проверить полученную матрицу на положительную определенность. Тогда из критерия Сильвестра-Якоби следует, что для того, чтобы матрица была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки ее главных диагональных миноров, включая и определитель этой матрицы, чередовались, начиная со знака «–». То есть, если , , , …, , то – отрицательно определенная матрица. Все диагональные элементы отрицательно определенной матрицы должны быть отрицательными.

При проверке матрицы на неотрицательную определенность достаточно установить, что все ее диагональные элементы и все главные диагональные миноры, включая определитель матрицы, неотрицательны.

При проверке матрицы на неположительную определенность достаточно установить, что все ее диагональные элементы и все главные диагональные миноры, включая определитель матрицы, неположительные.

При проверке матрицы на неопределенность достаточно убедиться в том, что, по крайней мере, два из ее диагональных элементов имеют разные знаки.

< Предыдущая		Следующая >