13. Повторные независимые испытания

Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т. е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два (“успех” и “неуспех”). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность “успеха” в каждом из испытаний неизменна и равна p, т. е. вероятность “неуспеха” также неизменна и равна q = 1 - p. Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с вероятностью “успеха” - выпадения “орла” - равной 0,5); последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью “успеха” - попадания - в каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т. д.

Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k “успехов”

(о вычислении числа См. §4).

Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут ровно 2 “четверки”, равна

Здесь p - вероятность выпадения “четверки” в одном броске - равна 1/6, q = 5/6 , общее число испытаний n = 4 , число “успехов” k = 2 .

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания?

Здесь n = 5 , k = 3 , q = 1 - p = 0,4 ,

.

Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. 6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых?

Пусть “успех” состоит в том, что вынут белый шар. Тогда p= 4/6 = 2/3 ( из 6 шаров 4 белых ), q = 1 - p = 1/3 . По условию n= 6 , k = 5 или k = 6 , откуда искомая вероятность

.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле?

Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2 : там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Искомое событие является произведением двух следующих (независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В={в пятом выстреле попадание}. P(A) вычисляется по формуле Бернулли

,

A P(B) = p = 0,6 . Поэтому искомая вероятность равна

В общем случае вероятность того, что к-й “успех” произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна

.

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания?

Мы знаем, что Р5(0) + Р5(1) + Р5(2) + Р5(3) + Р5(4) + Р5(5) = 1. В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых:

Заметим, что проще воспользоваться вероятностью противоположного события:1- P5(0)-P5(1)=1-0,45-5 0,44 0,6 = 0,91296.

< Предыдущая		Следующая >