15. Примеры использования метода Гаусса

Пример. Решим методом Гаусса следующую систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу этой системы и выполним ее элементарные преобразования по методу Гаусса. Умножим первую строку последовательно на числа 3, 2, 1 и вычтем результаты из второй, третьей и четвертой строк:

Вычтем теперь последовательно из третьей и четвертой строк вторую строку, а вторую строку разделим на число 5. Мы получили ступенчатую матрицу, соответствующую этапу прямого хода метода Гаусса

Примем за базисные неизвестные , а за свободные неизвестные . Отбросив в ступенчатой матрице нулевые строки, оставим в системе уравнений слагаемые с базисными неизвестными в левых частях уравнений, а слагаемые со свободными неизвестными перенесем со знаком минус в правые части уравнений:

Полученная система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных при любых значениях свободных неизвестных . Подставляя выражение для в первое уравнение системы, получим окончательно общее решение неоднородной системы в виде:

Запишем общее решение неоднородной системы, используя ее частное решение и фундаментальную систему решений, соответствующего однородного уравнения. Полагая в общем решении неоднородного уравнения, вектор произвольных постоянных равным нулевому вектору, получим частное решение неоднородной системы в виде

Далее положим в общем решении соответствующего однородного уравнения вектор произвольных постоянных равным последовательно векторам канонического базиса , . В результате получим фундаментальную систему решений в виде .

Окончательно, общее решение исходного неоднородного уравнения представляется в виде

С помощью метода Гаусса можно эффективно вычислять обратную матрицу . Из теоремы Крамера следует, что обратные матрицы существуют только для невырожденных матриц и находятся единственным образом, какой бы способ не использовался для их вычисления. Количество арифметических операций при обращении матрицы порядка по методу Гаусса равно числу и является наименьшим по сравнению с другими точными методами. Для построения обратной матрицы для матрицы сначала составляют специальную расширенную матрицу . Далее выполняются элементарные преобразования над расширенной матрицей по полной схеме метода Гаусса. В результате матрица приводится к виду . В преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется именно обратная матрица . Действительно, матричное уравнение , составленное относительно неизвестных нам элементов матрицы , равносильно совокупности из неоднородных систем уравнений: . Правые части этих систем состоят из канонических арифметических вектор – столбцов , а неизвестными являются столбцы искомой матрицы . Расширенная матрица этих неоднородных уравнений равна . Таким образом, когда расширенная матрица приводится к виду , происходит решение неоднородных систем уравнений По методу Гаусса, а в преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется обратная матрица.