073. Обратные тригонометрические функции

Функции, обратные функциям , , , на соответствующих интервалах, называются Обратными тригонометрическими функциями. Они обозначаются: , , , .

Тригонометрические функции и не являются монотонными во всей области их определения. Поэтому для построения обратных тригонометрических функций выделяют интервалы монотонности.

Функция

Функция возрастает на отрезке (интервале) и принимает все значения от до . Значит, для функции , , существует обратная функция. Эту функцию обозначают (читается "арксинус икс").

Арксинус числа – это такое число из отрезка , синус которого равен :

, , .

Например: (так как ; ); ; ; ; .

График функции изображен на рис. 5.43. Этот график симметричен графику функции , относительно прямой .

Основные свойства функции

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Функция нечетная, так как .

4. Нули функции: при .

5. при и при .

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция не имеет экстремумов.

8. Функция не имеет асимптот.

9. при .

10. Функция непериодическая.

При рассмотрении обратной функции на отрезке значение называют главным значением и обозна-чают . Другие значения выражаются через его главное значение формулой: .

Функция

Функция убывает на отрезке и принимает все значения от до . Значит, для функции , , существует обратная функция. Эту функцию обозначают (читается "арккосинус икс").

Арккосинус числа – это такое число из отрезка , косинус которого равен :

, , .

Например, (так как ; ); ; ; .

Отметим, что имеет место следующее важное тождество:

.

В его справедливости можно убедиться с помощью графика функции (рис. 5.44). Этот график симметричен графику функции , относительно прямой .

Основные свойства функции

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Функция общего вида: .

4. Нули функции: при .

5. при .

6. Функция убывающая.

7. Функция не имеет экстремумов.

8. Функция не имеет асимптот.

9. при .

10. Функция непериодическая.

При рассмотрении обратной функции на отрезке значение называют главным значением и обозначают . Другие значения выражаются через его главное значение формулой: .

Функция

Функция возрастает на отрезке и принимает на нем все числовые значения, так как . Значит, на указанном интервале для функции существует обратная функция. Эту функцию обозначают (читается "арктангенс икс").

Арктангенс числа – это такое число из отрезка , тангенс которого равен :

, , .

Например, (так как ; ); ; ; ; ; .

График функции изображен на рис. 5.45. Этот график симметричен графику функции , относительно прямой . Прямые являются горизонтальными асимптотами графика функции .

Основные свойства функции

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Функция нечетная: .

4. Нули функции: при .

5. при и при .

6. Функция возрастающая.

7. Функция не имеет экстремумов.

8. Асимптоты функции: и .

9. при .

10. Функция непериодическая.

Функция определена для и многозначна. Значение называют Главным значением и обозначают . Другие значения выражаются через его главное значение формулой:

.

Функция

Функция убывает на отрезке и принимает на нем все числовые значения, так как . Значит, на указанном интервале для функции существует обратная функция. Эту функцию обозначают (читается "арккотангенс икс").

Арккотангенс числа – это такое число из отрезка , котангенс которого равен :

, , .

Например, (так как ; ); ; ; ; ; .

Отметим, что имеет место следующее важное тождество:

.

График функции изображен на рис. 5.46.

График функции симметричен графику функции , относительно прямой . Прямые и являются горизонтальными асимптотами графика функции .

Основные свойства функции

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Функция общего вида: .

4. Нулей функции нет.

5. при .

6. Функция убывающая.

7. Функция не имеет экстремумов.

8. Асимптоты функции: и .

9. при .

10. Функция непериодическая.

Функция определена для и многозначна. Значение называют главным значением и обозначают . Другие значения выражаются через его главное значение формулой: .

< Предыдущая		Следующая >