032. Определения средних величин

Для решения некоторых математических задач необходимо использовать понятия средних величин: среднего арифметического и среднего геометрического.

Среднее арифметическое чисел , ... – это число :

.

Чтобы найти среднее арифметическое чисел, нужно:

1) найти сумму этих чисел;

2) эту сумму разделить на число слагаемых ().

Среднее геометрическое неотрицательных чисел , ... – это число :

.

Чтобы найти среднее геометрическое положительных чисел, нужно:

1) найти произведение этих чисел;

2) извлечь корень степени из этого произведения.

Пример 10. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 8; 8; 27.

Решение. Среднее арифметическое :

;

Среднее геометрическое:

.

Ответ. ; .

Неравенство Коши. Среднее арифметическое неотрица-тельных чисел не меньше их среднего геометрического:

.

Если все чисел , ... равны между собой, то

.

Рассмотрим примеры на преобразование иррациональных выражений.

Пример 11. Упростите выражение .

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, используя формулу полного квадрата суммы:

.

Тогда, .

Мы получили, что , т. к. и .

Ответ. .

Пример 12. Упростите выражение .

Решение. Чтобы записать выражение в виде квадрата разности, запишем его так:

,

(т. к. ).

Ответ. .

Пример 13. Упростите выражение .

Решение. Запишем подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем из выражения под знаком корня, получим:

.

Запишем в виде , получим:

.

Запишем формулу так: . Тогда по определению арифметического корня.

Ответ. .

Пример 14. Упростите выражение .

Решение. Выполним действия в первых скобках:

Выполним действия во вторых скобках: .

Выполним умножение: .

Ответ. .

Пример 15. Упростите выражение: .

Решение. Выделим полный квадрат и преобразуем выражения под знаком корня:

Выполним вычитание: .

Ответ. .

Пример 16. Упростите выражение .

Решение. а) Вынесем общий множитель в числителе первой дроби и сократим дробь:

.

Б) Выполним сложение в скобках и возведение полученное выражение в квадрат:

Ответ. .

Пример 17. Упростите выражение:.

Решение. а) Запишем выражение в первых скобках с помощью корня:

.

Б) Выполним вычитание в скобках, потом – умножение:

Ответ. .

< Предыдущая		Следующая >