12. Условные вероятности. Зависимые и независимые события

Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.

Теорема 3.

(4)

Доказательство. Пусть испытание, в котором могут появиться события А и В, имеет n исходов. Обозначим M(B) – число исходов, благоприятных событию В, M(AB) – то же для события АВ. Найдем Р(А/В). По смыслу определения учитываем только те исходы, в которых произошло В, число всех возможных исходов равно M(B). Число исходов, благоприятных в этой ситуации событию А, будет M(AB). Поэтому

, что и требовалось доказать. ■

Следствие формулы (4):

(5)

Задача. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 туза?

Решение. Обозначим события: В – «первая карта – туз», А – «вторая карта – туз». Найдем вероятность произведения АВ. По формуле (5)

Методом математической индукции формулу (5) можно распространить на любое число событий. Например, для трех событий:

, (6)

А для четырех событий она имеет вид:

(7)

События А и В называют Независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Другими словами, А и В независимы, если

. (8)

В этом случае формула (5) принимает вид:

(9)

Отсюда вытекает следующая теорема:

Теорема 4. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

< Предыдущая		Следующая >