14. Нормальный закон распределения и понятие о теореме Ляпунова

О непрерывной случайной величине говорят, что она Подчинена нормальному закону распределения или называется нормально распределенной, если плотность ее вероятности определяется формулой

.

Здесь А и S — Параметры распределения. Можно показать, что — СреднеЕ значение, а S — среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

В частном случае при А=0 эта плотность выражается функцИЕЙ

.

График этой функции представляет кривую вероятностеЙ И характеризуется следующими особенностями:

1) кривая пересекается с осью Оу в точке являющейся точкой максимума заданной функции, так как в Точке Х= 0 обращается в нуль ее первая производная

;

2) с осью Ох кривая не пересекается, но с возрастанием Асимптотически приближается к ней;

3) кривая симметрична относительно оси Оу, так как - четная функция;

4) по второй производной

Определяются две точки перегиба кривой с КоординаТами:

и .

Здесь важно отметить, что именно параметр S определяет абсциссы точек перегиба кривой вероятностей.

Построенная по этим результатам исследования кривая дается на рис. 11.

С изменением значения S меняются ординаты вершины и точек перегиба кривой, а это соответственно влияет на ее конфигурацию. Наглядное отражение этих изменений дает рис. 12, на котором наряду с кривой при помещены ЕЩе две кривые — при и при . Кривая с параметром принята здесь за основную, а другие получены преобразованием основной методом сжатий и растяжений. Большему значению S соответствует большая Вытянутость кривой вдоль оси Ох и большее сжатие вдоль оси Оу, и наоборот. Это вполне согласуется с тем, что при большем значении имеет место большее рассеяние значений случайной величины относительно центра рассеяния М(Х).

При кривые нормального распределения, заданные плотностью

,

Характеризуются горизонтальным сдвигом на А Ед. масштаба по сравнению с только что рассмотренными кривыми при тех же значениях параметра S. Сама же форма кривых при этом смещении остается без изменения.

Наиболее общий случай нормального распределения имеет место при систематических отклонениях в стрельбе, в измерениях и в других наблюдениях.

Закон нормального распределения имеет в теории вероятностеЙ Исключительно важное значение. В сферу его применения включаются не только отдельные случайные величины, но и суммы любого числа независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону (соответствующая теорема сложения для нормального распределения доказывается в подробных курсах теории вероятностей). Обработка результатов наблюдения в предположении, что они распределены по нормальному закону, легко доводится до конца с помощью простых правил операций с нормально распределенными величинами.

Более того, оказывается, что закон распределения суммы неЗАвисимых величин при довольно широких предположениях о законах распределения отдельных слагаемых стремится к нормальному ЗАкону, если число слагаемых неограниченно возрастает.

Первое доказательство этого утверждения для независимых повторных испытаний в биномиальном распределении составляет соДЕржание так называемой предельной теоремы Муавра.

В дальнейшем было выяснено, но долгое время оставалось недоКАзанным, что этот результат имеет место и при гораздо более Общих уСЛовиях.

Разрешение этого вопроса дает центральная предельная теорема, Которая составила предмет научных изысканий ряда крупных математиков, начиная с Лапласа, и строгое доказательство которой было дано А. М. Ляпуновым в 1901 г.

Сущность этой теоремы заключается в том, что При некоторых общих условиях сумма П независимых случайных величин, заданных произвольными распределениями, имеет распределение, которое по мере возрастания числа п стремится к нормальному.

НекотораЯ конкретизация упомянутых здесЬ общих условий Позволяет так сформулировать теорему Ляпунова.

Если имеЕТся П независимых случайных ВеличИн

С математическими ожиданиями

И с Дисперсиями

Причем отклонения всех случайных величин от их математических ожиданий не превышают по абсолютной величине одного и того же числа :

,

А все дисперсии ограничены одним и тем же числом С:

,

То при достаточно большом п сумма случайных величин , т. Е. будет подчинена закону распределения, Cколь угодно близкому к закону нормального распределения.

Упражнения

1, По таблице распределения случайной ВеличиНы

Определить ее среднее значение, среднее отклонение и среднее Квадратическое Отклонение.

Отв.

2. Вероятность попадания из орудия в данную цель при одном выстреле . Составить таблицу распределения числа попаданий при 7 выстрелах; определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Отв.

3. Две НеЗавИСимые сЛУчаЙНые величиНЫ Х и Y заданы Слсдующими табцами распредеЛЕния:

Составить таблицы распределения случайных величин X+Y и XY и проверить справедливость свойств о математическом ожидании суммы и произведения случайных величин.

< Предыдущая		Следующая >