44. Карточки «Спортлото»

Перед каждым тиражом «Спортлото» миллионы людей ЗаполняЛи карточки, пытаясь угадать ЗАветные 6 номеров из 49. Одни заЧЕркивали подряд 6 номеров, другие — через три на ЧЕтвертый, третьи вспоминали дНи, в которые одержала победу любимая команда и т. Д. Выясним, были ли хоть два человека, ожидавшие одних и тех же номеров? Чтобы с уверенностью ответить на этот вопрос, надо подсчитать, СколЬКими способами можно ВЫбрать 6 номеров из 49.

С точки зрения математика, ничего не изменилось бы, если надо было бы выбрать не 6 номеров из 49, а, скажем, 6 книг из 49 различНЫх кНИг, 6 карт из 49 и т. д. Чтобы не связывать задачу с коНКретным выбором предметов, лучше говорить не о числах, книгах, картах и т. д., а об элементах некоторого множества.

Итак, нам нужно найти число K-подмножеств в N-множестве X. Такие подмножества называют также Сочетаниями из п элементов по k. Число таких сочетаний обозНАчают .

Задача о вычислении сводится к уже решенной нами выше задаче о числе перестановок с повторениями. В самом деле, расставИМ любым образом заданные N элеМЕнтов и зашифруем любой выбор K элементов кортежем длины N из K единиц и нулей — если элемент выбирают, то на его месте пишут 1, а если НЕ выбирают, то 0. Например, выбор элементов А, с из элементов А, B, С, D, е записывается кортежем 10100. Каждому кортежу отвечает свой способ выбора элементов. Поэтому число K-Подмножеств в N-множестве равно числу перестановок с повторениями из нулей и K единиц, т. е. оно равно . A

.

ЗНачит, и

. (7)

Равенства (6) и (7) показывают, что СправедлиВо равенство

(8)

Теперь уже легко подсчитать число различНЫХ, сПОсобов заполнения карточек «СПортлото». Нам надо Выбрать 6-подмножества из 49-множества, а это можно сделать способами. Но по формуле (7)

He следует думать, что придется перемножать числа от 1 до 49, — ведь и в числителе, И в знаменателе Имеется ПРоизведение чисел от 1 до 43. Сокращая на него, пОлУЧАем

А это выражение уже легче сосчитать, оНО равно 13983816.

< Предыдущая		Следующая >