40. Первенство по футболу

В высшей лиге первенства СССР по футболу участвуют 16 команд. Разыгрываются 3 медали: ЗОлотая, серебряная и бронзовая. Перед началом первенства был объявлен конКУрс знатоков, в котором требовалосЬ указать распределение медалей. СколЬКо раЗЛичных ответов можно датЬ на ЭТот ВOnpoc?

Во-первых, ясНО, что ЗДесь мы имеем дело с кортежами длины 3, а не с множествами из 3 элементов — ведь одно дело, когда ЗОлотую медаль получил «Арарат», а серебряную — киевское «Динамо», а другое, когда они МеНяются ролями и чемпионом страны становится «Динамо». Но в рассматриваемой ЗАдаче есть своеобразныХ ЧЕРты, ведь теперь ни один ЭЛемент не может дважды встретиться в кортеже победителей: одна И та же команда Не может получить, например, и ЗОлото, и бронзу. ПоэтоМУ нам надо решить такую ЗАдачу; Найти число кортежей длины 3, составленных из 16 команд, в которых ни одна команда не повторяется дважды.

Золотую медаль может, вообщЕ говоря, получить любая из 16 команд (мяч, как известно, круглый...). Но если какая-нибудь команда Завоевала ЗОлотые медали, ТО на второе место претендуют 15 команд — все, кроме чемпиона. А после распределения золотой и серебряной медалей остаются лишь 14 претендентов на бронзовые медали. По правилу произведения выводим, что число различных кортежей, удовлетворяющиХ поставленныМ треБованиям, равно

Точно так же решается общая задача: Имеется Множество X, состоящее из П элементов. Сколько кортеже длины K можно составить из элементов Этого множествА Если все ЭЛементы каждого кортежа должны бытЬ различными?

Кортежи, подчиненные этому условию, называют Размещениями без повторений из П элеМЕнтов по K, а их Число Обозначают . Чтобы сосчитать , будеМ Рассуждать Так: на первое место у нас П кандидатов. После того Как Оно ЗАполнено, на второе место остаются П-1 Кандидатов, на третье П-2 кандидатов и т. Д. На K-E место Имеется кандидатов (после того как мы выбралИ K-1 элемент, остается элЕМентов). Применяя правило произведения, находИМ

(2)

Эту формулу можно ЗАписать иначе, умножив Числитель и знамеНАтель на . В числителе полУчится произведеНиЕ всех чисел от 1 до N. Такие Произведения часто встречаются в комбинаторике. Их называЮ, Факториалами и обоЗНачают П! (читают N факТОриал). Таким образом,

(3)

Два размещения без повторений из П ЭЛементов по N состоят из одних и тех же ЭЛементов, располоЖЕНнЫх в различном порядке. Поэтому такие размещения называюТ Перестановками из П элемеНТов. Их число обознаЧАют . По формуле (2) получаем

(4)

< Предыдущая		Следующая >