09. КоМБинаторика в странах Востока

В VIII в. н. э. начался расцвет арабской науки. Арабы перевели многие творения греческих ученых, изучили их, а затем продвинулись вперед в областях, мало привлекавших внимание греков, — в науке о решении уравнений (само слово «алгебра» — арабского происхождения), теории и практике вычислений и т. д. Решая вопрос об извлечении корней любой степени, арабские алгебраисты пришли к формуле для степени суммы двух чИСел, извЕСтной под историческИ неверным назваНиЕм «бИнОм Ньютона». По-видимому, эту формулу знал живший в XI - XII вв. Н. Э. поэт и математик Омар Хайям. Во всяком случае уже в XIII в. такую формулу приводит в своих трудах Насир ад-Дин Ат-Туси, а в XV в. она была исследована Гиясэддином Ал-Каши.

Судя по некоторым европейским источНиКам, восходящим к арабским оригиналам, для отыскаНИя коэффициентов этой формулы брали число 10001 и возводили его во 2-ю, 3-ю, ..., 9-ю степени. Получалась таблица

В которой жирным шрифтом выделены коэффициенты бинома Ньютона. Если опустить в этой таблице излишние нули, то получится треугольная таблица из биномиальных коэффициентов. Арабские ученые знали и основное свойство этой таблицы, выражающееся формулой

Одновременно с арабами вычислением биномиальных коэффициентов занимались китайские математики. ОНи Составили к XIII в. Н. Э. таблицу таких чисел вплоть до П = 8, приведенную в книге алгебраиста Чжу Ши-дзе «Яшмовое зеркало». Имеются указания, что астроном И Синь в VIII в. н. э. вычислил количество различных расположений фигур в игре, напоминавшей шахматы.

Интересовались сочетаниями и в Индии. Еще во II в. до н. Э. индийцы знали числа и тот факт, что сумма равна . А в XII в. индийский математик Бхаскара написал книгу «Лилавати», в которой среди других вопросов математики изучает и проблемы комбинаторики. Он пишет о применениях перестановок к подсчету вариаций размера в стихосложении, различных расположений в архитектуре и т. д. Он дает также правила для отыскания числа перестановок и сочетаний несколькИХ прЕДметов, причем рассматривает также и случай, когда в этих перестановках есть повторяющиеся элементы.

В начале XII в. Западная Европа начала пробуждаться после многовековой духовНОй спячки. Развитие торговли с Востоком привело к пронИКНОвению в Европу арабской науки. Наиболее смелые и любознательНЫе европейцЫ Пробирались в находившуюся под владычеством арабоВ Испанию и знакомились там не только с творениями греческих ученых, но и достижениями арабской и индийской научной мысли — алгеброй и десятичНОй системой счисления.

В арабских учебНЫх заведениях получил образованиЕ И Леонардо — сын Пизанского купца, торговавшего в Алжире. В своей книге «Liber Abaci», вышедшей в 1202 г., Леонардо, получивший прозвище Фибоначчи, привел в систему всю арифметику арабов, НеКоторые сведения по геометрии Евклида и добавил к ним результаты своих ИЗысканий. Труд Фибоначчи содержал и новые комбинаторные задачи, например, об отыскании наименьшего количества гирь, с помощью которых можно получить любой целый вес от 1 до 40 фунтов. Рассматривал Леонардо и отыскание целых решеНИй уравнений. В дальнейшем аналогичные задачи привели к отысканию количЕСтва натуральных решений систем уравнений и неравенств, которое может рассматриваться, как одна из глав комбинаторики.

Но главной заслугой Леонардо перед комбинаторикой было то, что он сформулировал и решил задачу о кроликах. Со времен греческих математиков были известны две последовательности, каждый член которых получался по определенным правилам из предыдущих — арифметическая и геометрическая прогрессии. В задаче Леонардо появилась новая последовательность, члены которой были связаны друг с другом соотношением Это была первая в истории науки формула, в которой следующий член выражался через два предыдущих. Подобные формулы получили названиЕ рекуррентных (от латинского recurrere — возвращаться). Метод рекуррентНЫх формул оказался впоследствии одним из самых МОщных для решения комбинаторных задач.

< Предыдущая		Следующая >