09. События, вероятность событий

События подразделяются на случайные (обозначаются A, B, A1, A2, …), достоверные (обозначаются ), невозможные (обозначаются Æ).

Событие, состоящее в том, что событие А не наступило, называют Противоположным и обозначают

Событие, состоящее в наступлении А или B, называют Суммой событий и обозначают .

Событие, состоящее в наступлении А и B, называют Произведением событий и обозначают .

Если , то события А и – Несовместные, если , то события и – Совместные.

Вероятность события A обозначается и является численным выражением возможности наступления A.

Свойства вероятности:

Классическое определение вероятности события:

Где N – общее число всех элементарных равновозможных исходов испытания, образующих полную группу попарно несовместных событий, а M – число исходов, благоприятствующих появлению события

Вероятность произведения событий.

Вероятность события В при условии, что произошло событие А называют условной вероятностью и обозначают или

Вероятность произведения событий A и B Вычисляется по формуле:

Событие B Называется Независимым От события A, Если его условная вероятность равна безусловной, т. е. . Если событие B не зависит от события A, То и событие A Не зависит от события B.

Если и – независимые события, то

Вероятность суммы событий:

Если и – несовместные, то ,

Если и – совместные, то

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Если событие А может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий образующих полную группу событий, то вероятность события А вычисляется по формуле, называемой Формулой полной вероятности:

События называют гипотезами.

Для нахождения условных вероятностей гипотез пользуются Формулой Байеса:

Схема повторений испытаний.

Пусть производится N независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью Р. Требуется найти:

• вероятность того, что событие А произойдет ровно K раз в этих N испытаниях – ;

• вероятность того, что событие А произойдет от K1 До K2 раз в этих N испытаниях –

При различных P и N используются разные формулы.

Формула Бернулли (используется при N<30; для больших значений N процесс вычислений затруднен из-за громоздкости, а часто просто практически невозможен):