23. Интеграл с переменным верхним пределом

Будем считать нижний предел интЕГрала постоянным, а верхний переменным. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при РассматриВаемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела.

Остановимся на общепринятых обозначениях. Независимая ПереМенная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой, скажем Х, что и переменная интегрирования. Таким образом, например, записывают:

Однако переменная Х в подынтегральном выражении служит лишь вспомогательной переменной — переменной интегрирования, пробегающей в процессе составления интеграла (суммирования) значения от А до Х — Верхнего предела интеграла. Если нам нужно вычислить частное значение функции , например, при , т. е. , то мы подставим B вместо X в верхний предел интеграла, но, разумеется, не будем подставлять B вмесТо переменной интегрирования. Поэтому нагляднее было бы употреблять такую запись:

Взяв для переменной интегрирования какую-нибудь другую букву (здесь T). Мы, однако, будем часто обозначать одной буквой и переменную интегрирования, и независимую переменную в верхнем пределе, всегда помня их различный смысл в символе интеграла.

Свойства интеграла, изученные в предыдущем параграфе, относятся и к интегралу с переменным верхним пределом.

Производная от интеграла. Весьма важно изучить связь между функцией и данной подынтегральной функцией .

ТеореМА IX (о производной интеграла по верхнему пределу). Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральноЙ функции:

(*)

Доказательство. Придадим аргументу Х приращение . Тогда наращенное значение функции будет:

Значит,

Т. е.

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем (теорема VIII), найдем:

Где x — точка, лежащая между Х и .

По определению производной имеем:

Но если , то стремится к Х; поэтому и подавно , а так как — НеПРерывная функция, то

Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует также, что

(**)

Необходимо заметить, что результаты в формулах (*) и (**) Не зависят от обозначения переменной

Интегрирования; имеют место, например, такие равенства:

Рассмотрим геометрический смысл теоремы. Функция выражает переменную площадь криволинейной трапеции с переменным основанием , ограниченной линией . В теореме IX утверждается, что производная от площади трапеции по абсциссе равна ординате линии, ограничивающей трапецию (отрезок на рис. 8), или что дифференциал площади трапеции равен площади прямоугольника ABDE со сторонами, равными соответственно приращению основания трапеции и ординате линии в крайней точке.

Итак, мы видим, что Производной оТ фУНкции является данная функция . Следовательно является Первообразной от функции .

Формула Ньютона — ЛейбНИца. Теперь мы подошли к завершаюЩЕму этапу наших рассуждений, позволяющему установить обходный путь для вычисления определенных интегралов.

Теорема Х. ЗначенИЕ определенного ИНтеграла равНО Разности зНАчеНИй любой первообразноЙ От подынтегральной функции, Взятых ПРи верхНЕм и НИжнем пределах интеграла:

где (*)

Равенство (*) называется Формулой Ньютона — ЛейБНИЦа.

Другими словами,

Значение ОПределенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Так как она является первообразной от функции , Ее нужно искать среди функций Где — какая-нибудь из первообразных от .

СледовательНО,

Где С1 — Некоторая определенная постоянНАя. Для отыскания ее воспользуемся еще одним известным нам свойством функции , а именно тем, что

Отсюда т. Е. Итак,

При получаем доказываемое равенство (*).

Разность значений функции записывают часто так:

Вертикальная черта с нижним и верхним индексами, стоящая справа от символа функции и называемая Знаком двойной подстановки, указывает, что из значения функции, принимаемого ею при верхнем индексе, нужно вычесть ее значение, принимаемое при нижнем индексе.

Воспользовавшись этим обозначением, формуле (*) можно придать вид

Причем,

Формула Ньютона — Лейбница дает нам замечательный ключ к вычислению определенных интегралов. Она позволяет находить определенный интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций. Для иллюстрации возьмем несколько простых примеров.

Так как есть первообразная от , то

Так как одной из первообразных от служит то

Одной из первообразных от ЕX является ЕX, в силу чего

Одной из первообразных от cos Х служит sin Х, поэтому

Если взять какие-нибудь другие первообразные от подынтегральных функций (т. е. отличающиеся от выше взятых на постоянные величины), то, очевидно, получим те же результаты.

Заметим теперь, что, так как есть первообразная от , то

Это можно записать так:

Мы пришли к несколько иному виду формулы Ньютона — Лейбница, позволяющему основную теорему этого пункта выразить так:

Приращение функции в интервале равно определенному интегралу по этому интервалу от дифференцИАла функции.

Формулы

(**)

Устанавливают точный характер связи между определенным интегралом и производной.

Эти формулы показывают, что если от какой-либо функции взять сначала интеграл с независимой переменной в качестве верхнего предела, а затем результат дифференцировать по этому пределу или, наоборот, сначала функцию дифференцировать, а затем интегрировать (с независимой переменной в качестве верхнего предела), то эта функция остается неизменной. Следует, однако, заметить, что в первом случае от функции требуется только непрерывность, а во втором — непрерывная дифференцируемость, причем результат в этом втором случае, строго говоря, остается не вполне неизменным: из взятой функции вычитаЕТся постоянная, зависящая от нижнего предела интеграла.

Окончательным, весьма важным результатом настоящего параграфа является достигнутый нами вывод, что Определенное интегрирование функций сводится к нахождению первообразных от этих функций.

Замечание. Теперь очень легко показать, что путь S, найденный нами при помощи интеграла (по скорости V), действительно совпадает с тем путем, исходя из которого была определена скорость. Пусть путь S как функция времени T задан так: . Тогда .

Поэтому

Откуда по формуле Ньютона — Лейбница (считая, что ) получаем:

Что и требовалось доказать.

< Предыдущая		Следующая >