18. Интегрирование рациональных дробей и некоторых иррациональных функций

Одним из наиболее простых методов определения КоэффициЕнтов в разложении правильной дроби на простейшие является МЕТоД неопределенных коэффициентов. Поясним применение этого метода на примерах.

ПрИМер 1. Разложить на простейшие дроби

Применим формулу (13):

(14)

Где — пока неизвестные постоянные числа.

Приводим правую часть тождества (14) к общему знаменателю:

Дроби, стоящие в правой и левой частях последнего равенства, тождественно равны друг другу. Но если две дроби ТождественНо равны друг другу и имеют одинаковые знаменатели, то числители этих дробей также тождественно равны друг другу:

Раскрывая скобки, располагаем многочлен в правой части последнего равенства по убывающим степеням X:

Два многочлена тогда и только тогда тождественно равны друг другу, когда коэффициенты при одинаковых стеПЕнях Х равны.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в этих многочленах, получим систему уравненИЙ:

Решив эту систему, найдем:

Подставив в формулу (14) вместо найденные значения, получим окончательно

Пример 2. Разложить на простейшие дроби:

Так как знаменатель имеет только ДЕйствительные корни, то разложение дроби, согласно формуле (13), имеет вид

(15)

Приведем правую часть соотношения (15) к общему знаменателю:

Приравнивая числители, получаем

Расположим многочлен в правой части по убывающим степеням X:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в правой и левой частях рАВенства, получим систему уравнений:

Разрешив эту систему, найдем Подставив найденные значения коэффициентов в соотношения (15), получим

Пример 3. Разложить на простейшие дроби

Знаменатель имеет только комплексные корни; в этом случае разложение дроби на простейшие примет вид

Приведя к общему ЗНаменателю выражение, стоящее в правой части, придем к тождеству:

Откуда:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к системе уравнеНИй:

Решая эту систему уравнений, найдем

Таким образом,

Пример 4. Разложить на простейшие дроби

Применяя формулу (13), получим:

Приводя к общему знаменателю, получим тождество

Или

Приравнивая коэффициеНТы при одинаковых сТЕпенях X , получим систему уравнений:

Из которой находим

Следовательно,

Часто нахождение коэффициентов разложения значительно упрощается, если применить так называемый Метод Произвольных значений. Рассмотрим с этой точки зрения только что приведенный пример. Полученное там равенство

(16)

Есть тождество, справедливое при любом значении Х.

Выбираем такие значения Х, для которых равенство (16) принимает наиболее простой вид. Здесь проще всего за Х взять один из корней знаменателя.

Полагая Х = 1, имеем:

Откуда

Аналогично, полагая Х = -1, найдем 3 = 6В, B =; пpи X = 2, 12 = 12С, С = 1; при Х = -2, -24 = -12D; D = 2.

На практике указанныЙ метод целесообразно применять в случае, когда знаменатель Q(Х) правильной рациональной дроби имеет только действительные простые корни.

Все выше изложенное позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональных дробей.

1. Если рациональная дробь неправильная, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной ДРоби.

Тем самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.

3. Правильную рациональную дробь представляют в виде суммы простейших дробей и сводят интегрирование правильной рациональной дроби к интегрированию простейших дробей.

Рассмотрим примеры:

Пример 1.

Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим

Следовательно,

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

Поэтому

Таким образом, окончательно имеем:

Пример 2.

ПоД интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая ее на простейшие дроби, получим

Следовательно,

Что касается интеграла в правой части, то он берется, как мы знаем, подстановкой При этом Таким образом, имеем:

Итак,

Интеграл от рациональной дроби является элементарной функцией. Мы сейчас рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей заменой переменного могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, следовательно, также могут быть выражены через элементарные функции.

Предварительно рассмотрим некоторые новые понятия. Многочленом относительно перемЕНных и и V Называется сумма произведений вида: , где Т и П — целые неотрицательные числа.

Например, выражения U являются многочленами относительно И и V.

Частное от деления двух многочленов относительно И и V называется Рациональной функцией от и и V или Рациональным выражением относительно И и V.

Например, дроби являются рациональными выражениями относительно И и V. Рациональную функцию от И и V обозначают .

Легко заметить, что сумма, разность, произведение и частное нескольких рациональных функций от И и V есть тоже рациональная функция от U и V.

Рациональным выражением относительно функций и называется рациональная функция от И и V, в которую вместо И И V подставлены соответственно и . Рациональное выражение относительно и обозначают . Аналогичный смысл имеет выражение .

Пример 1. - рациональное выражение ОтносиТельно X И

Пример 2. - рациональное выражение относительно и

Заметим, что Если и — Рациональные функции от х, то Также является рациональной функцией от х.

1. Интегралы вида , Где п — Целое число, могут быть сведены к интегралам от рациональных функций. Докажем это.

Произведем в этом интеграле замену переменной, положив тогда Следовательно,

Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть интегРАл от рациональной функции относительно переменной интегрирования Z и, следовательно, может быть вычислен в элементарных функциях.

Поясним сказанное примерами:

Пример 1.

Полагаем ; тогда и

Следовательно,

Таким образом, мы свели наш интеграл к интегралу от рациональной функции.

Подставляя вместо Z его выражение через Х, т. Е. Имеем:

Пример 2. Подынтегральное ВыражеНие рационально зависит от , так как Сделаем замену переменной: , откуда и

Следовательно,

.

II. ИнтЕгРалы болЕЕ общего вида: где R — рациОНальное ВЫражЕНие, от х U такжЕ приводятся к интегралам от рациональной функции, если полоЖИТЬ

Пример. Вычислить

Полагаем откУДа

Следовательно,

< Предыдущая		Следующая >