11. Исследование функции, построение графика

Далее займемся исследованием функций, применяя полученные знания.

Если в некоторой окрестности точки Х0 выполняется неравенство F(X)<F(Х0) или F(X) > F(Х0), то точка Х0 называется Точкой экстремума функции F(X) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если Х0 – экстремальная точка функции F(X), то первая производная (Х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: Х0 является экстремальной точкой функции F(X), если ее первая производная (X) меняет знак при переходе через точку Х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

Точка Х0 называется Точкой перегиба кривой y=F(Х), если при переходе через точку Х0 меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если Х0 – точка перегиба кривой y=F(Х), то вторая производная (Х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: Х0 является точкой перегиба кривой y=F (Х), если при переходе через точку Х0 вторая производная (Х) меняет знак.

Прямая Yас=KХ+B называется Наклонной асимптотой кривой y=F(Х), если расстояние от точки (x; F(Х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при Х®¥. При этом

При K=0 имеем Горизонтальную асимптоту:Y=B.

Если

То прямая Х=А называется Вертикальной асимптотой.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

П. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений Y’(Х)=0 и Y’(Х)=¥;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

Ш. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений Y”(Х)=0 и Y”(Х)=¥;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

Рассмотрим на примерах

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений Y’=0 и Y’=¥ получаем точки, «подозрительные» на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака Y’:

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной Y’ в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке Х=-3: Y(-3)=27/4. Точки Х=-1 и Х=0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка Х=-1 является точкой разрыва функции. Так как , то прямая Х= -1 служит вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем наклонные асимптоты ,

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 3. Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

Решение. 1. Область определения: (-¥, -1), (-1, +¥). Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

График функции имеет одну вертикальную асимптоту Х=-1 и одну наклонную асимптоту Y=-x+2 (см. пример 2). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

П. Функция имеет один минимум при Х=-3 (см. пример 1).

Ш. Вторая производная обращается в бесконечность при Х=-1 и равна нулю в точке Х=0, которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

Учитывая полученные результаты, строим график функции .

Вопросы для самопроверки:

1. Как найти область возрастания и убывания функции?

2. Каково необходимое условие экстремума Вам известны?

3. Как найти точку перегиба?

4. Укажите уравнение наклонной прямой?

5. Укажите уравнение наклонной асимптоты?

6. В каком случае существует вертикальная асимптота, а в каком горизонтальная?

< Предыдущая		Следующая >