20. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями и , а с боков – цилиндрической поверхностью F(X,Y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т. е.

, где S- проекция V на плоскости Oxy.

Теорема 14.4. Пусть:1) в области Задана функция F(X,Y,Z), интегрируемая по Риману, т. е. существует тройной интеграл ; 2) существует повторный интеграл . Тогда справедлива формула

(3.4)

Замечание. Цилиндрическая поверхность , ограничивающая V, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию.

Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.

Пример 11. Вычислить , где область V ограничена

Поверхностями: .

Ñ Поверхности И есть параболические цилиндры с образующими, параллельными - плоскости. Область V – правильная в направле-

Нии Oz, а потому для точек, принадлежащих V (рис.14.15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями и ,а потому, например (см.(2.1)), и в силу (3.2) . Тогда по формуле (3.4) = =