14. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной

Из определения первой производной естественно использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы

, (4.1.1)

, (4.1.2)

Соответствующие выбору фиксированных значений и . Здесь - малый параметр - шаг. Формулы (4.1.1) и (4.1.2) называют правой и левой разностными производными. Оценим их погрешности:

и , воспользовавшись формулой Тейлора:

(4.1.3)

Подставив в выражение (4.1.3), получим

.

Аналогично, Таким образом,

(4.1.4)

Итак, формулы (4.1.1) и (4.1.2) имеют первый порядок точности по . Естественно предположить, что лучшим по сравнению с (4.1.1) и (4.1.2) приближением является тангенс угла наклона секущей к графику , проведенной через точки и . Соответствующая формула приближения имеет вид

(4.1.5)

, полученную по формуле (4.1.5), называют центральной разностной производной. Оценим опять погрешность формулы (4.1.5). Для этого подставим в выражение для погрешности соответствующие разложения в ряд Тейлора:

Получим

Следовательно, справедлива оценка погрешности

(4.1.6)

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно параметра .

Для вычисления первой производной можно получить и еще более сложные и точные формулы. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. Например,

< Предыдущая		Следующая >