12. Задача минимизации оценки погрешности

Предположим, что значение заданной на отрезке функции можно вычислить в произвольной точке . Однако по некоторым причинам целесообразнее заменить прямое вычисление функции вычислением значений ее интерполяционного многочлена. Для такой замены необходимо один раз получить таблицу значений в выбранных точках . При этом естественно стремиться к такому выбору узлов интерполяции, который позволит сделать минимальной величину .

Пусть о функции известно лишь то, что она непрерывно дифференцируема раз на отрезке . Тогда

(3.6.1)

Найдем теперь набор узлов интерполяции , при котором . Пусть сначала В этом случае величина (3.6.1) будет минимальна, если будет минимальна . Но этим свойством обладают полиномы Чебышева, следовательно, , и набор узлов определен . Это нули многочлена . При таком выборе

, (3.6.2)

Причем любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для формулы Тейлора, например, , то есть в раз хуже.

Перейдем теперь к отрезку . Его можно преобразовать к стандартному отрезку следующей заменой: . В этом случае

(3.6.3)

Тогда (3.6.4)

И минимум этой величины достигается при значениях , совпадающих с нулями многочлена . Таким образом, решение поставленной задачи дает выбор узлов

(3.6.5)

И ему соответствует минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное: (3.6.6)

< Предыдущая		Следующая >