4. Метод резолюций в логике высказываний

Метод резолюций – это метод автоматического доказательства теорем – основы логического программирования. Это алгоритм, проверяющий отношение выводимости ├. В общем случае алгоритм автоматического доказательства теорем не существует, но для формальных теорий с несложной структурой (таких как исчисление высказываний, исчисление предикатов с одним одноместным предикатом) подобные алгоритмы известны.

Вообще говоря, в построенном в главе 3 исчислении высказываний (благодаря полноте исчисления) проверка выводимости формулы состоит в проверке того, является ли формула тавтологией или нет. Это можно легко установить по таблицам истинности. Но этот метод не обеспечивает построения вывода формулы.

Метод резолюций – классический алгоритм автоматического доказательства теорем. Для простоты изложения рассмотрим его для исчисления высказываний. Для любого множества формул и любой формулы метод дает утвердительный ответ, если ├, и дает отрицательный ответ, если неверно, что ├.

Теорема о доказательстве от противного. Если ,├, где – тождественно ложная формула, то ├.

Доказательство. Доказательство проведем для частного случая, когда представляет собой одну формулу. По теореме дедукции, ,├ – тавтология. Преобразуем правую часть равносильности, учитывая, что формула тождественно ложна.

– тавтология Û ├, что и требовалось доказать.

Как правило, в качестве формулы используют пустую формулу , которая не имеет никакого значения ни в какой интерпретации, и, по определению, является противоречием.

Метод резолюций использует специальную форму формул, которая называется предложением.

Определение. Предложением называется дизъюнкция формул вида или , где – атом (буква).

Любая формула исчисления высказываний может быть преобразована в предложение следующей последовательностью действий:

1. Замена импликации по формуле: (проверьте самостоятельно). В результате в формуле остаются связки: , , .

2. Преобразование выражений с инверсиями по закону двойного отрицания: , законам де Моргана: , . В результате инверсии остаются только перед буквами.

3. Приведение формулы к конъюнктивной нормальной форме с помощью дистрибутивных законов:

4. Преобразование конъюнктивной нормальной формы во множество предложений: .

Напомню, что связки , используются здесь для удобства записи.

Определение. Множество формул называется невыполнимым, если оно не имеет модели, то есть интерпретации, в которой все формулы истинны.

Без доказательства приведем следующую теорему.

Теорема. Если из формулы получено множество предложений, то формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда множество невыполнимо.

До сих пор мы пользовались только одним правилом вывода – Modus ponens. В других исчислениях высказываний имеют место и другие правила вывода.

Правило резолюций. Даны предложения: , , где – пропозициональная буква, и – предложения (в частности, пустые или содержащие только одну букву или ее отрицание). Правило резолюций формулируется так: , ├.

, называются Резольвируемыми предложениями, а – Резольвентой.

Правило резолюций будем обозначать .

Теорема. Резольвента логически следует из резольвируемых предложений.

Доказательство. В вышеприведенных обозначениях, нам нужно доказать, что – тавтология (по теореме дедукции).

Предположим, что

Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Правило резолюций применяется в опровержении методом резолюций – алгоритме, устанавливающем выводимость ├.

Запишем . Каждая формула из множества и формула независимо преобразуются во множество предложений. В этом множестве нужно найти резольвируемые предложения и применить к ним правило резолюций. Резольвенты добавляются во множество предложений до тех пор, пока не будет получено пустое предложение. Возможны два случая:

· Среди множества предложений нет резольвируемых. Вывод: теорема опровергнута, и формула не выводима из множества формул .

· Получено пустое предложение. Теорема доказана. Имеет место выводимость ├.

Примеры. 1. Методом резолюций доказать теорему ├.