04.4. Логическое следование

Чтобы установить, следует ли логически формула В Исчисления предикатов из множества формул А1, А2,..., AM (м > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где А1, А2,..., АM одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения. Такое условие играет существенную роль, ибо одна формула будет логически следовать из другой (или других) в одном универсуме, но не следовать в ином универсуме.

Символически это определение можно представить в следующей форме:

A1,A2, ,AM| = B

Где знак | = обозначает следование.

В приведенном выше определении логического следования свободные переменные рассматриваются как обозначающие некоторые элементы из универсума рассуждения. Поэтому в течение всего рассуждения они, так же, как и предикаты, должны оставаться фиксированными. При другом определении переменные могут быть различными в разных формулах. Чтобы яснее представлять различия между двумя подходами к определению логического следования, обратимся к языку алгебры, в котором, как известно, различают, с одной стороны, уравнения (или условные равенства), а с другой – тождества (или тождественные равенства). В то время как уравнению удовлетворяют только определенные значения переменной, называемые его корнями, тождество выполняется при любых значениях переменной. Именно поэтому уравнения считаются условными равенствами. Действительно, например, в уравнении Х2 + 2х – 3 = 0 левая часть равняется правой только при значениях Х = 1 и Х = –3, а в тождестве (х + 1)2 = Х2 + 2х + 1 вместо переменной можно подставлять любые числа.

Соответственно этому будем говорить, что для переменных в уравнениях дается Условная интерпретация, а в тождествах – Интерпретация всеобщности. При условной интерпретации переменной Х в определенном допущении А(х) – куда Х входит свободно – любое следствие, полученное из него, должно относиться к тому же самому элементу из универсума А(х). Иными словами, переменная Х в этом случае фиксирована, так как представляет то же самое число в процессе рассуждения. При тождественной интерпретации значения переменных могут изменяться. Отсюда становится ясным, что приведенное выше определение для логического следования в исчислении предикатов соответствует условной интерпретации свободных переменных, входящих в допущения A1, А2,..., An. Чтобы сформулировать другое определение следования, необходимо опираться на интерпретацию всеобщности для всех переменных. Для этого необходимо, во-первых, связать все допущения А1, А2, ..., АM кванторами общности, а во-вторых, построить таблицы истинности, как и в первом определении.

< Предыдущая		Следующая >