47. Вопросы для подготовки к экзамену
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.
2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение подстановок.
4. Определители N-го порядка: определение, свойства; дополнительные миноры и алгебраические дополнения; вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Теоремы Лапласа и Крамера.
5. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.
6. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.
7. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.
8. Обратная матрица: определение, свойства, способ вычисления.
9. Решение матричных уравнений.
10. Линейные пространства: определение, примеры. Арифметическое линейное пространство. Доказать, что множество матриц одной и той же размерности с элементами из поля Р есть линейное пространство.
11. Линейно зависимые и независимые системы векторов: определение, свойства, примеры.
12. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.
13. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. Размерности арифметического линейного пространства, пространства матриц и пространства многочленов R[Х].
14. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. Действия с векторами в координатах. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.
15. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.
16. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.
17. Изоморфизм линейных пространств: определение, свойства, примеры.
18. Столбцовый и строчный ранги матрицы: определение, теорема о столбцовом ранге матрицы, ранг матрицы, практическое правило вычисления ранга матрицы.
19. Теорема Кронекера-Капелли о системе линейных уравнений. Практическое правило решения системы линейных уравнений, общее и частное решения.
20. Пространство решений системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений (ФСР), выражение общего решения через ФСР.
21. Связь решений системы линейных неоднородных уравнений и соответствующей системы линейных однородных уравнений.
22. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений.
23. Линейные операторы: определение, примеры, свойства, сумма линейных операторов, умножение линейного оператора на элемент основного поля.
24. Матрица линейного оператора в данной паре базисов. Соответствие между всеми линейными операторами J : Ln ® Lm и всеми матрицами порядка N´m С элементами из основного поля.
25. Теорема о задании линейного оператора J : Ln ® Lm базисом из Ln и упорядоченным набором N векторов из Lm .
26. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе. Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов.
27. Область значений и ядро линейного оператора: определение, свойства, примеры.
28. Линейные преобразования линейного пространства: определение, примеры, свойства.
29. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на элемент поля Р. Линейное пространство, сопряжённое данному линейному пространству.
30. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, примеры, свойства.
31. Характеристический многочлен, характеристические корни и собственные значения квадратной матрицы.
32. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
33. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром.
34. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.
35. Матрица Грама в евклидовом пространстве: определение, свойства, формула для вычисления скалярного произведения.
36. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов в евклидовом пространстве: определение, примеры, свойства.
37. Ортогональные дополнения вектора и евклидова подпространства: определение, свойства, примеры.
38. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве: определение, свойства, примеры. Теорема о том, что любой базис в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормировать. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.
39. Изоморфизм евклидовых пространств: определение, свойства, примеры.
40. Ортогональное линейное преобразование: определение, примеры, свойства. Ортогональная матрица.
41. Сопряжённые линейные преобразования: определение, свойства, примеры. Доказать, что для всякого линейного преобразования пространства ЕN существует сопряжённое.
42. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования: определение, примеры, свойства. Симметрические матрицы, их свойства.
43. Билинейные формы.
44. Квадратичные формы: определение, примеры. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому и нормальному виду над полем R (над полем С).
45. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов.
46. Ранг, положительный индекс инерции, дефект действительной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции квадратичной формы.
47. Положительно определённые квадратичные формы: определение; необходимое и достаточное условие, при котором форма является положительно определённой; примеры.
48. Распадающиеся квадратичные формы: определение; необходимые и достаточные условия, при которых форма является распадающейся над полем R (над полем С).
| < Предыдущая |
|---|
