09. Пример решения заданий к разделу №3

Задание 1.

А) Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной X и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

Или

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Б) Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом .

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как и , то

Задание 2. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график

Решение:

Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т. е. в точках и .

Для точки имеем:

, , .

Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.

Для точки находим:

Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рис. 3.

Рис. 3.

Задание 3. Найти производную функции

А)

Решение:

Б)

Решение:

С)

Решение:

Задание 4. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма - производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене p=10 за единицу и известен вид функций издержек

С(x)= 20 +

Решение:

Пусть х - количество реализованного товара, p - цена товара, C(x)- функция издержек, тогда прибыль от реализации произведенного товара равна

П(х)= p*x-C(x)

Найдем функцию прибыли.

П(х)=

Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

Корень уравнения х=5.

Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при х=5: Пmax(5)=5

Задание 5. Провести полное исследование функции и построить ее график

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

1. найти область определения функции;

2. исследовать на четность и нечетность функцию;

3. найти точки разрыва функции;

4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

1. Областью определения функции является множество .

2. Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция претерпевает разрыв в точке .

4. Найдем асимптоты графиков функции:

А). Прямая является вертикальной асимптотой, т. к.

Б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,

Где ;

Таким образом, прямая является единственной наклонной асимптотой и на , и на .

5. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

А) С осью : , , т. е. точка пересечения с осью - .

Б) С осью : , , т. е. точка пересечения с осью - .

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из получаем , откуда , .

+ _ +

-3 11

Так как на интервалах и производная положительна, т. е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т. е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т. е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т. е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т. е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из получаем , откуда , .

+ _ +

-3 11

8. График функции изображен на рис. 4.

Рис. 4

< Предыдущая		Следующая >