06. Пример решения заданий к разделу №2

Задание 1. Даны векторы .

Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов A, B, 5C; б) найти модуль векторного произведения векторов 3C, B; в) вычислить скалярное произведение двух векторов A, 3B; г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора A, B; д) проверить, будут ли компланарны три вектора A, B, C.

Решение:

А) Так как , то смешанное произведение

Б) Поскольку , то векторное произведение

.

В) Находим:

Г) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Так как и , то векторы и не коллинеарны. Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Поскольку , то векторы и не ортогональны;

Д) векторы A, B, C компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, т. е. . Вычисляем

,

Т. е. векторы A, B, C не компланарны.

Задание2. Даны вершины треугольника . Найти:

А) уравнение стороны АВ;

Б) уравнение высоты СН;

В) уравнение медианы АМ;

Г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

Е) расстояние от точки C до прямой AB.

Решение:

А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки

,

Получим уравнение стороны АВ:

.

Откуда

или .

Б) Используя уравнение прямой

Найдем угловой коэффициент прямой АВ

Тогда . С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН () угловой коэффициент высоты СН: .

Используя уравнение прямой проходящее через точку с угловым коэффициентом

Составим уравнение высоты СН. По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты СН :

или .

В) По формулам координат середины отрезка

Находим координаты Х, у середины М отрезка ВС:

.

Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:

или .

Г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений

Решая ее, получаем ;

Д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны . Тогда, согласно уравнению

,

По точке С и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой CD:

или .

Е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:

.

Тогда

.

Построим координаты вершин треугольника, все точки и прямые найденные при решении данной задачи в прямоугольной системе координат (рис. 1).

Задание 3. Составить канонические уравнения:

А) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F(, 0). Т. е. A = 3, F(, 0).

Б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом F(-, 0). Т. е. B = 2, F(-, 0).

В) параболы, имеющей директрису X = - 3. Т. е. D: X = - 3.

Где F - фокус, A - большая (действительная) полуось, B - малая (мнимая) полуось, D - директриса кривой.

Решение:

А) Каноническое уравнение эллипса имеет вид

По условию задачи большая полуось . Для эллипса выполняется равенство . Подставив в него значения и , найдем . Тогда искомое уравнение эллипса

Б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию мнимая полуось . Для гиперболы справедливо равенство . Поэтому . Записываем искомое уравнение гиперболы:

В) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид

,

А уравнение ее директрисы . Но по условию задачи уравнение директрисы . Поэтому и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид

Задание 4. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его верхней вершине.

Решение:

Для данного эллипса верхняя вершина , , . Поэтому

И фокусы находятся в точках . Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:

В соответствии с каноническим уравнением окружности

Записываем искомое уравнение окружности:

или .

Задание 5. Построить кардиоиду, заданную уравнением в полярной системе координат

Решение: Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса :

JI	0	P/6	P/4	P/3	P/2	2p/3	3p/4	5p/6	P	7p/6
RI	4	2	1,2	0,6	0	0,6	1,2	2	4	6

JI	5p/4	4p/3	3p/2	5p/3	7p/4	11p/6
RI	6,8	7,4	8	7,4	6,8	6

Построив найденные точки в полярной системе координат (отложив угол от полярной оси и вдоль полученной прямой расстояние R) и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о кардиоиде (рис. 2).

Рис. 2

< Предыдущая		Следующая >