§7.2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Определение: Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она непрерывна во всех точках сегмента за исключением, быть может, конечного числа точек в которых она имеет разрыв первого рода.

Определение: Кусочно-непрерывная на сегменте функция называется кусочно-гладкой, если производная этой функции существует и непрерывна всюду на сегменте за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый предел функции.

Лемма 1: (Лемма об аппроксимации непрерывной на сегменте функции). Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда для любого существует непрерывная, кусочно-гладкая функция , такая, что для любого из сегмента выполняется условие, что , причём .

Лемма 2: Если функция – кусочно-непрерывна на сегменте , то: при , при .

Теорема: (О сходимости тригонометрического ряда Фурье в каждой точке). Пусть – кусочно-гладкая функция на сегменте . Тогда – сходится в точке и для его суммы справедливо:

Док-во: Продолжим периодически функцию на всю числовую прямую с периодом и составим частичную сумму Фурье ряда: . Т. к. ; , то частичную сумму ряда можно переписать в следующей форме: (где – ядро Дирихле порядка (где обозначает количество слагаемых, которые мы выбираем в исходной частичной сумме ряда Фурье)) , где , где . Функции и представляют собой периодические функции с периодом . . Далее рассмотрим: .

Т. к. - чётная функция, то ; (умножим на

Рассмотрим частичную сумму: . Рассмотрим разность (2)-(1): . Преобразуем ядро Дирихле : . Домножим на и и получим: .

Заметим, что выражение для не определено в точке , но с другой стороны предел в данной точке равен: . Таким образом: . По лемме 2 при , и аналогично: при , следовательно, складывая два последних результата, получаем: при , т. е. . Отметим, что если функция непрерывна в точке и односторонние пределы совпадают, значит , тем самым пункт (1) теоремы доказан.

2) Для значений в точках и запишем: , тем самым пункт (2) теоремы доказан.

Комплексная форма ряда Фурье

. Но . Итак , где . Тем самым мы получили разложение функции по системе функций . Указанная система функций является ортогональной на сегменте , то есть .

< Предыдущая		Следующая >