§4.5. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. .

2. ; .

3. A, B – множители;.

4. A, B – множители; F: ; f – отображение .

5. – плотное в себе множество и [окрестность точки] .

Пусть имеется множество Q в N-мерном пространстве и в нем заданы функции , , причем и такие, что . Пусть в : .Рассмотрим случай когда , – следовательно, : F: интеграл по X на .

И этот интеграл называется собственным интегралом, зависящим от параметра.

Теорема 1 (Теорема о непрерывности): Пусть Q – параллелепипед в N-мерном пространстве: .

Вместо параллелепипеда может быть замкнутое, ограниченное, плотное в себе множество при .

Теорема 1.1:

Пусть непрерывна в области определения. Тогда непрерывна в своей области определения .

Док-во: ; при Где Фиксируем , тогда по первой теореме Вейерштрасса можно указать такое число , что При по теореме Кантора функция F равномерно непрерывна на сегменте , можно указать такое , что выполняется:

при .Фиксируем , , , ч. т.д.

Уточним Теорему 1.1: Пусть при и соответственно .

Теорема 1.2: Пусть функция непрерывна на прямоугольнике . Обозначим:

; .

Тогда:

1. Функция непрерывна на сегменте .

2. Функция .

3. , тогда .

Док-во: По Теореме 1.2: , ; , ч. т.д.

Теорема 1.4:

Пусть функция F непрерывна в области определения , пусть также существует производная и непрерывна также на .

Тогда:

1. , где – множество непрерывных функций, имеющих непрерывные первые производные.

2. .

Док-во: ; И непрерывные (т. к. – непрерывная функция). Введем следующую вспомогательную функцию, которую назовем «формальной» производной:

фиксируем получаем: , ч. т.д.

Теорема 1.5: Пусть F, Дифференцируемы на .

Тогда:

1. I – дифференцируема на ..

2.

Док-во: I – дифференцируема. , ч. т.д.

< Предыдущая		Следующая >