§4.2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода): Для того чтобы несобственный интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы
выполняется неравенство
Док-во: Обозначим функцией Интеграл
то есть
.
По определению сходимость несобственного интеграла означает существование
.
В свою очередь, для того чтобы существовал этот предел необходимо и достаточно, чтобы выполняется следующее неравенство
, но
, таким образом, получаем, что
выполняется
, ч. т.д.
Вернемся к примеру 4. Рассмотрим следующий интеграл
Зададим и выберем
, по критерию Коши исходный несобственный интеграл первого рода
сходится.
Теорема 2: (признак сравнения) Пусть при
И функции
и
интегрируемые функции на любом сегменте
, тогда из сходимости интеграла
Следует сходимость интеграла
А из расходимости (2) следует расходимость интеграла (1).
Док-во: введём две функции
и
Эти функции подчиняются такому соотношению
Из последней записи следует, что если интеграл (1) сходится, то функция – ограниченная, поэтому функция
также будет ограниченной и, следовательно, интеграл (2) сходится. Если же интеграл (1) расходится, то функция
неограниченна, поэтому функция
также неограниченна и значит интеграл (1) является расходящимся, ч. т.д.
Следствия:
1) при
, то
сходится при
, если
то
расходится при
.
2) и
при
и
то интегралы сходятся и расходятся при этом одновременно.
Пример: ; 0
при
Получаем:
рассмотрим
Следующий предел: так как
исходный интеграл сходится и расходится одновременно с интегралом:
.
Сходится при , расходится при
.
Признак Дирихле – Абеля
Признак Дирихле – Абеля относится к интегралам следующего вида, а именно:
Теорема 3 (Признак Дирихле – Абеля): Пусть:
1) Функция непрерывна на полупрямой
И имеет на этой прямой ограниченную первообразную
(
),
2) Пусть функция является не возрастающей функцией на промежутке
Пусть
При и, кроме того, имеет непрерывную производную на
. Тогда интеграл
сходится.
Док-во: Для доказательства воспользуемся критерием Коши, для этой цели рассмотрим следующий интеграл
Так как функция является непрерывной (по условию), то интеграл правой части существует. Кроме того, функция
не возрастает и
При
. Поэтому
при
. Для определенности будем считать, что
. Рассмотрим модуль исходного интеграла:
Зададим произвольное, так как функция
При
, то
такая константа
;
, мы можем сделать значение функции таким
, при
и
выполняется условие, что
исходный интеграл сходится, ч. т.д.
Пример:
Пусть. Функция
непрерывна и имеет на полупрямой
первообразную
(первообразная, очевидно, является ограниченной). Первый признак Дирихле-Абеля выполнен.
2) является убывающей при
И стремится к нулю при
. Следовательно, по признаку Дирихле – Абеля исходный интеграл сходится.
< Предыдущая | Следующая > |
---|