§3.15. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному
A<b, c<d; Q={(x, y):a£X£B, c£Y£D}
J(x, y) интегрируема на Q
Предположим, что для каждого X Î [a, b] J(x, y) интегрируема по переменной Y на [c, d].
Тогда функция вида
Интегрируема на [a, b], причем
Док-во:
Построим разбиение {xk}[a, b].
XK Î [xk-1,xk]
S - интегральная сумма для внешнего интеграла по форме {yn} [c, d].
D ({yn})£D({xk})
Тогда справедлива оценка для (x, y) Î Qk, n
Mk, n£J(x, y)£Mk, n
Мы воспользовались, что
s£S£S (для двойного интеграла)
S-нижняя сумма Дарбу для двойного интеграла .
S- верхняя сумма Дарбу для двойного интеграла .
Если D({xk})®0, То D({Qk, n})®0.
ч. т. д.
Формула для криволинейной трапеции.
Доопределяем нулями.
< Предыдущая | Следующая > |
---|