§2.2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения

Теорема 1.

Пусть:

1) Функция непрерывная в прямоугольнике

2) Для выполнено условие (т. е. на верхней и нижней стороне прямоугольника функция принимает значения различных знаков).

3) Для - является строго монотонной по переменной на всем отрезке

Тогда существует единственная функция неявная функция , определяемая условием (1) () , непрерывная на интервале.

Неявная функция наглядно показывается пересечением поверхности и плоскости

Теорема 2.

Пусть:

1) функция дифференцируема в некоторой окрестности точки

2) Пусть частная производная - непрерывная в точке .

3) Пусть, .

(угадали “одну точку из решения”).

Тогда существует прямоугольник: целиком лежащей в окрестности В котором существует единственная неявная функция , удовлетворяющая условию (1) и дифференцируемая на интервале (x – d, x +d).

При этом производная неявной функции вычисляется по следующей формуле:

(3)

Точка принадлежит графику функции и производная не равна нулю.

Замечание (о порядке вычисления производной):

В формуле (3) сначала формально вычисляются производные , и лишь затем подставляется .

Пример 1

(1)

Доказать, что и найти ,

Докажем, что существует (предполагаем, что ).

Если при фиксированном При достаточно больших значениях , очевидно выполняются неравенства < 0 при при .

Отсюда следует, что по теореме 1 существует единственная неявная функция.

В контексте теоремы 1 прямоугольник превращается в бесконечную плоскость.

Очевидно, что является дифференцируемой на всей области определения.

Так как - непрерывная функция и если , то

, т. е. выполнены условия теоремы 2.

из этого следует

Полученное соотношение позволяет вычислять значение производной в данной точке по уже известному значению самой функции в данной точке.

Формулы для вычисления производной в данной точке позволяют только (но и это не мало) по указанному значению функции в данной точке посчитать значения производных разных порядков в данной точке.