§1.06. Предел функции нескольких переменных

Опр. (по Гейне):

Функция рассматривается на области определения.

Число B называется пределом функции U = F(M) при М А, если

для при

Отвечающая ей числовая последовательность сходится к B.

Опр. (по Коши):

Число B называется пределом функции U = F(M) при МА, если

для : Такое, что .

Обозначение(предел по совокупности переменных):

, где ,

Или

.

Опр.: Функция U = F(M) называется бесконечно малой в точке А, если

.

В случае предела функции нескольких переменных остаются справедливы известные теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами.

Условие Коши:

Функция U = f(M) удовлетворяет в точке А условию Коши, если из выполнения условий:

, что :

Следует, что .

Критерий Коши*

Для того, чтобы функция U = f(M) принимала в точке А конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы функция U = f(M) удовлетворяла в точке А условию Коши.

Доказано самостоятельно:

1) Необходимость.

Пусть функция имеет предел:

,

.

При выполнены оба условия сразу:

.

Следовательно, она удовлетворяет условию Коши.

2) Достаточность.

, .

Выделим сходящиеся к А подпоследовательности и :

, при n > N

=> f() – фундаментальная.

Значит f() сходится к B.

Пусть F() B, F(’) B’, тогда рассмотрим сходящиеся последовательность

, ’, , ’…

F(), F(’), F(), F(’) … - сходится,

Следовательно, B и B’ совпадают в силу определения предела по Гейне.

ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >