§1.04. Последовательности точек в M – мерном пространстве
Каждому натуральному числу, начиная с единицы, поставим в соответствие точку М
:
.
Возникает последовательность {
} – последовательность точек
Опр.: Говорят, что последовательность {} точек M-мерного пространства сходится к точке А при n 
, если для 
Такой, что для 
выполняется условие: 
.
Лемма
Последовательность точек 
(m-мерного евклидова пространства) {} сходится к точке А при n (т. е. 
при n ) в том и только том случае, когда сходятся соответствующие координатные последовательности:
…………………..
Док-во:
1) Пусть последовательность сходится:
,
,
,
В частности: 
.
Мы неравенство усилим: 
,
Следовательно, последовательность 
при 
.
Аналогично доказывается сходимость числовых последовательностей, отвечающих остальным координатам.
2) для
: 
,
………………………………….,
.
Выберем N = Max{
},
Тогда начиная с номера N указанные неравенства будут одновременно выполняться.
Возведем неравенства в квадрат и сложим:
,
.
ч. т. д.
Опр.: Последовательность точек M-мерного пространства называется фундаментальной, если
, 
- натуральное
Выполняется условие:
.
Опр.: Последовательность {} называется ограниченной, если существует вещественное число R>0 такое, что
,
О – начало координат – (0,0,…,0).
Теорема (критерий Коши)*
Для того, чтобы последовательность точек {} (m-мерного евклидова пространства) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность являлась фундаментальной.
Доказано самостоятельно:
Ранее ключевым инструментом доказательства являлось свойство модуля (см. 1-й семестр). Теперь свойство модуля заменяется неравенством треугольника:
.
1) Пусть последовательность сходится:
:
,
Докажем, что и - натурального:
,
.
Если условие сходимости выполняется для , то оно тем более выполняется для 
:
Фундаментальность доказана.
2) Пусть последовательность {} – фундаментальная:
- натурального:
.
Докажем её сходимость.
Пусть 
, 
.
Следовательно, последовательность ограничена, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {
}:
- натурального:
.
Возьмем N = Max(
). При N > N будут выполняться условия фундаментальности исходной последовательности и условия сходимости подпоследовательности.
Т. е., все члены, начиная с номера N, будут попадать в 
-окрестность точки А, т. к. отстоят от предыдущего не более, чем на .
ч. т. д.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса)
Из любой ограниченной последовательности точек в всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Док-во:
В соответствии с доказанной леммой из свойства ограниченности последовательности точек следует ограниченность каждой из координатных последовательностей:
, … , 
.
Следовательно, числовые последовательности являются ограниченными.
Т. е., мы от ограниченности последовательности точек в пространстве перешли к ограниченности набора числовых последовательностей.
Но по соответствующей теореме Больцано-Вейерштрасса для ограниченных числовых последовательностей из каждой числовой последовательности 
,..,
Можно выделить сходящуюся подпоследовательность : 
, … , 
.
Причем подпоследовательность 
по 2-той координате выделяется из последовательности 2-х координат у точек 
и т. д.*
Значит, по лемме существует исходная сходящаяся последовательность точек.
ч. т. д.
 |
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
