Так как предикаты представляют собой “переменные” высказывания, то для предикатных формул, использующих операции логики высказываний, справедливы все равносильности логики высказываний (см. §1). Поэтому ограничимся лишь рассмотрением специфических формул, связанных с операциями навешивания кванторов.
1. 
Действительно, предположим, что для производного предиката Р(Х) (для определенности будем считать, что предикат P зависит только от переменной Х; наличие или отсутствие других переменные в данном случае не существенно) с предметной областью М левая часть тождества принимает значение 1 ("истина"). Другими словами, не существует 
, такого, что Р(А) = 1. Это значит, что 
P(A) = 0, т. е. P(A) ≠ 1 или, что то же самое, 
принимает значение 1.
Предположим теперь, что 
принимает значение 0, т. е. не верно, что не существует такого, что Р(А) = 1. Или, что то же самое, существует элемент , такой, что Р(А)=1. Таким образом, не для всех Р(А) ≠ 1. Поэтому высказывание ложно. Тождество доказано.
Аналогично доказывается и другие тождества, приведенные ниже.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
В 5-ой и 6-ой формулах, вообще говоря, справедливы только указанные импликации. То, что импликации в обратную сторону ложные видно из следующего примера: Р(Х) = ”Х – четное число”, Q(X) = ”X – нечетное число”, М = Z – множество целых чисел.
7. 
8. 
Другими словами, кванторы всеобщности перестановочны друг с другом и кванторы существование также перестановочны друг с другом. Но нельзя переставлять квантор $ и квантор ". Так, например, $X"Y(X≤Y) – ложное высказывание, а "Y$X(X≤Y) – Истинное. При перестановке различных кванторов справедлива лишь следующая импликация
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
В последних четырех тождествах предикат Q, вообще говоря, может иметь предметные переменные, но отличные от Х (точно также и Р(Х) может иметь другие переменные, кроме Х).