1.2.2. Произведение (композиция) отображений

Пусть ¦: Х®Y, и пусть ХÎХ. Отображение ¦ переводит Х в некоторый элемент . При этом элемент Y под действием отображения G переходит в некоторый элемент Z Из Z. Таким образом, в результате последовательного выполнения сначала ¦ а потом G, каждый элемент ХÎХ отображается в элемент и мы получаем отображение .

Определение 7. Произведением отображений ¦:Х®Y и называется отображение определяемое равенством .

Например, пусть , . Тогда .

Отметим, что не всегда Gf и Fg определены одновременно. Для этого необходимо, чтобы . В частности, если , , то Gf И Fg определены. Но даже в этом случае равенство Fg = Gf, вообще говоря, не выполняется (это видно из рассмотренного примера), Таким образом, умножение отображений не коммутативно. Однако оно ассоциативно.

Теорема 1. Если ¦:Х®Y, , , то H(Gf) и (Hg)F определены и равны.

Доказательство. Так как Gf:X®Z, то H(Gf):X®U. Аналогично, hg:Y®U, поэтому (Hg)F:X®U. Покажем, что " ХÎХ . Пусть . Имеем: . Поэтому согласно определению произведения отображений и

.

Определение 8. Отображение называется Тождественным, или Единичным, если , " ХÎХ. Обозначения: eX , 1X, idX.

Теорема 2. Если , то и .

Следствие. Если , то .

Теорема 3. Пусть ¦:Х®Y, . Если ¦ и G инъективны, то Fg -- инъективно. Если ¦ и G сюръективны, то Fg – сюръективно.

Доказательство.

1) Имеем. Пусть , т. е.

2) Пусть F, G – сюръективны и . Так как G – сюръективно, то $ . А так как ¦ -- сюръективно, то $ . Таким образом, .

Следствие. Произведение биективных отображений – биективно.

< Предыдущая		Следующая >