24. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением Векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) × = ïï2;

2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) × = ×;

4) ×(+) = ×+ ×;

5) (m)× = ×(m) = m(×);

Если рассматривать векторы В декартовой прямоугольной системе координат, то

× = Xa xb + ya yb + za zb;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

т. к. .

Пример. Найти угол между векторами И , если

.

Т. е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

Cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами И , если

.

Т. е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

Cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

< Предыдущая		Следующая >