_107. Элементы математической логики
Математическая логика – разновидность формаьной логики, т. е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями
1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Обозначается 
Р или 
.
Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
|
P |
|
|
И |
Л |
|
Л |
И |
2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается P&Q или РÙQ.
|
P |
Q |
P&Q |
|
И |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
|
Л |
И |
Л |
|
Л |
Л |
Л |
3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается PÚQ.
|
Q |
PÚQ |
|
|
И |
И |
И |
|
И |
Л |
И |
|
Л |
И |
И |
|
Л |
Л |
Л |
4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.
Обозначается PÉQ (или РÞQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.
|
Q |
PÞQ |
|
|
И |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
|
Л |
И |
И |
|
Л |
Л |
И |
5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается Р~Q или РÛQ.
|
Q |
P~Q |
|
|
И |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
|
Л |
И |
Л |
|
Л |
Л |
И |
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
|
P |
R |
|
(pÙr) |
|
|
И |
И |
Л |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
Л |
И |
|
Л |
И |
И |
Л |
Л |
|
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
|
P |
R |
|
|
|
|
|
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
|
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
|
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
|
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Данные формулы не являются эквивалентными.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.
Составим таблицы истинности для заданных формул.
|
P |
Q |
R |
PÛq |
(pÛq)Úr |
|
И |
И |
И |
И |
И |
|
И |
И |
Л |
И |
И |
|
И |
Л |
И |
Л |
И |
|
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
|
Л |
И |
И |
Л |
И |
|
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
|
Л |
Л |
И |
И |
И |
|
Л |
Л |
Л |
И |
И |
|
P |
Q |
R |
PÞq |
QÞp |
(pÞq)Ú(qÞp) |
(pÞq)Ú(qÞp)Úr |
|
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
|
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
|
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
|
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
|
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
|
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
|
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
