_104. Алгебраические структуры

Определение. На множестве А определена Алгебраическая операция, Если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т. к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется Группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов A, B, C Î A выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элемент Е, что для любого элемента А из этого множества выполняется равенcтво:

3) для любого элемента А множества существует элемент А’ из этого же множества такой, что

Различные множества могут являться группой относительно какой - либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов называется Порядком группы.

Определение. Между элементами множеств M и N установлено Взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

Определение. Две группы M и N называются Изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов A, BÎ M И соответствующим им элементам A’, B’Î N элементу

С = Ab Будет соответствует элемент C’ = A’B’.

При этом отображение группы М на группу N называется Гомоморфизмом.

Определение. Если операция, Определенная в группе коммутативна, (т. е. для любых элементов A и B группы верно соотношение Ab=Ba), то такая группа называется Коммутативной Или Абелевой группой.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется Кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т. е. для любых элементов A, B И с Î R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется Коммутативным Кольцом.

Определение. Полем Называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента A¹ 0 и любого элемента B существует единственный элемент Х такой, что Ax = B.

< Предыдущая		Следующая >