34. Критерий Коши

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность Была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при N > N и любом P > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

Доказательство. (необходимость)

Пусть , тогда для любого числа Найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд Был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N Такой, что при N>N И любом P>0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд Сходится, то необходимо, чтобы общий член Un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т. к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т. к. при любом N.

< Предыдущая		Следующая >