20. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Решение дифференциального уравнения вида 
или, короче, 
будем искать в виде 
, где K = Const.
Т. к. 
то
При этом многочлен 
называется Характеристическим многочленом Дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т. е. 
Т. к. Ekx ¹ 0, то 
- это уравнение называется Характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени N, характеристическое уравнение 
имеет N Корней. Каждому корню характеристического уравнения Ki Соответствует решение дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов K характеристическое уравнение может иметь либо N различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение Ekx;
Б) каждому действительному корню кратности M ставится в соответствие M решений:
В) каждой паре комплексно – сопряженных корней 
характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:
и 
.
Г) каждой паре M – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2M решений:
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
.Составим характеристическое уравнение: 
Общее решение имеет вид: 
Пример. Решить уравнение 
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.
Таким частным решением будет являться функция 
Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
Общее решение имеет вид: 
Окончательно: 
Пример. Решить уравнение 
Составим характеристическое уравнение: 
Общее решение:
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.
Понизим порядок уравнения с помощью подстановки 
Тогда 
Окончательно получаем: 
Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение У1 = С1 получается из общего решения при С = 0.
Пример. Решить уравнение 
Производим замену переменной: 
Общее решение: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
