74. Связь градиента с производной по направлению

Теорема: Пусть задана функция U = U(X, Y, Z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора Gradu на вектор .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и Gradu.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т. е. . Если угол между векторами Gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т. е. его модуль равен единице, можно записать:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора Gradu на вектор .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой - либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т. п. Т. е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

< Предыдущая		Следующая >