26. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение. Кривая обращена выпуклостью Вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется Выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется Вогнутой.

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (A, B) вторая производная функции F(X) отрицательна, то кривая Y = F(X) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т. к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т. к. по условию То

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется Точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением Y = F(X). Если вторая производная F¢¢(A) = 0 или F¢¢(A) не существует и при переходе через точку х = а F¢¢(X) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

X < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т. е. точка х = а – точка перегиба.

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >