25. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если F¢(X1) = 0, то функция F(X) в точке х = х1 имеет максимум, если F¢¢(X1)<0 и минимум, если F¢¢(X1)>0.

Доказательство.

Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т. к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т. к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т. е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т. е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

< Предыдущая		Следующая >