23. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций

Теорема. 1) Если функция F(X) имеет производную на отрезке [A, B] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т. е. F¢(X) ³ 0.

2) Если функция F(X) непрерывна на отрезке [A, B] и дифференцируема на промежутке (а, B), причем F¢(X) > 0 для A < X < B, то эта функция возрастает на отрезке [A, B].

Доказательство.

1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

Тогда:

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2 – x1), x1 < e < x2

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т. е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

j j j j

x x

< Предыдущая		Следующая >