08.1. Алгебры высказываний. Предикаты и операции над ними. Основные логические операции и их свойства
В математической логике изучаются высказывания и различные связи между ними. При этом понятие высказывания считается основным, неопределяемым понятием. В качестве пояснения говорят лишь, что Высказывание — это утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно.
Если высказывание А Истинно или Ложно, то говорят, что оно имеет значение «и» или «л» и пишут
А º и или А º л.
Высказывания А и B, имеющие одинаковые значения, называются Равносильными, что обозначается в виде
А º B.
Очевидно, что отношение равносильности высказываний является отношением эквивалентности на любом множестве высказываний М, и потому М разбивается на два класса высказываний — на класс истинных и класс ложных высказываний.
В обычной речи мы из определенных высказываний А, B с помощью различных связок можно образовывать новые высказывания, например «А и B» «А или B» «если А, то B», «неверно, что А». В математической логике эти высказывания обозначаются в виде
A & B (A Ù B), A Ú B, A ® B, `A (ù A)
И называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и отрицанием высказывания А (табл.8.1).
В высказываниях A & B, A Ú B, A и B называются членами, или компонентами, соответственно конъюнкции и дизъюнкции; в высказывании А -> B А называют посылкой, B — заключением импликации.
Обозначим через W = {и, л}. Тогда табл.8.1 может служить определением операций &, Ú, ®,` на множестве W.
Таблица 8.1
|
A |
B |
A & B |
A Ú B |
A ® B |
`A |
|
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
|
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
|
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
|
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
При этом операции &, Ú,` обладают следующими свойствами:
1) операции &, Ú коммутативны, ассоциативны, идемпотентны, дистрибутивны одна относительно другой и связаны законами поглощения: A & (A Ú B) º A, A Ú (A & B) º A;
2) операция отрицания — инволютивна (т. е. 
) и связана с операциями &, Ú законами де Моргана: 
и соотношениями А & А º л, А Ú А º и.
Отсюда следует, что алгебра W(&, Ú,` ) является булевой алгеброй. В ней роль 1 и 0 играют соответственно элементы и, л.
Определение 8.1. Двухэлементная булева алгебра W(&, Ú,` ) называется Алгеброй высказываний.
Из табл.8.1 видно, что импликация (->) также является операцией на множестве W и обладает рядом свойств, связывающих её с другими операциями:
A ® B º`B ®`A (закон контрапозиции),
A ® (B ® A) º и,
Ab ® B º и,
A ® B º`A Ú B и другие.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
