04.2. Функции K-значной логики

Пусть , где .

Определение 4.7. Функцией K-значной логики, или k-значной функцией, от переменных при называется произвольное отображение , K-значными функциями от 0 переменных называются функции-константы 0, 1, …, K – 1.

Обозначим через и множества всех K-значных функций и K-значных функций от переменных.

При изучении K-значных функций используются многие из терминов и обозначений, введенных при изучении булевых функций. В частности, аналогичным образом определяются равенство функций, существенные и несущественные переменные, функции от переменных, тождественно равны константам 0, 1, …, K – 1, подфункции и т. д.

Так как множество конечно, то K-значную функцию от переменных можно задать таблицей её значений на всех наборах (или векторах) из . При этом условимся записывать их в порядке возрастания как числа в конечной системе исчисления. Непосредственно из табличного значения видно, что различных K-значных функций равно . При табличное задание K-значных функций практически еще более трудно осуществимо.

В связи с этим важным вопросом является вопрос о разработке аналитических способов K-значных функций.

Множество можно рассматривать как кольцо вычетов по модулю , и потому можно считать определенными на операции сложения и умножения по модулю . Будем обозначать эти операции при теми же значками , что и операции над числами. Используя эти операции и функции-константы можно построить кольцо многочленов от переменных . Каждый многочлен из этого кольца представляет K-значную функцию от переменных. При простом , когда есть поле, многочленами представляются все K-значные функции. При составном  — это не так.

Используя операции сложения и умножения, а также элементарные функции

Можно получить представление K-значной функции, сходное с совершенной дизъюнктивной нормальной формой для случая :

. (4.4)

Другими, часто используемыми операциями на являются аналоги дизъюнкции, конъюнкции и отрицания:

Для K-значных функций, как и в двоичном случае, можно ввести понятия операции, представления функций формулами над заданной системой функций, замыкания, замкнутой и полной системы функций и. т.д. Приведем примеры полных систем K-значных функций.

1. Из представления (4.4) следует, что полной является система функций .

2. Так как в разложении (4.4) операцию сложения можно заменить на дизъюнкцию (выбор максимума), то полной является также система функций .

3. Наряду с разложением (4.4) имеет место еще один аналог совершенной дизъюнктивной нормальной формы функции , где IA(X) = 1 как только X = A, и в остальных случаях равна 0. Отсюда следует, что полной является система функций .

4. Система функций является полной системой функций.

Доказательство. С помощью суперпозиции из функции легко получить функции . Из них получим константу , а поэтому все функции константы . Теперь нетрудно получить функции :

.

Как следует из примера 3, остается построить функцию , т. е. Для этого сначала построим функции

Теперь из них можно получить функции

И .

5. Аналогично функции Шеффера в K-значной логике является функция Вебба , которая одна образует систему, т. е. система является полной.

Доказательство. Используя , при имеем . Далее получаем:

А так как

Отсюда имеем, что  — полная система функций.

Утверждение 4.8. Все K-значные функции представляются многочленами над в том и только том случае, когда K — простое число, т. е. Поле (без доказательства).

Утверждение 4.9. (Критерий полноты — критерий Слупецкого). Пусть система K-значных функций K содержит все функции одной переменной, причем . Тогда для полноты системы К необходимо и достаточно, чтобы К содержала функцию, существенно зависящую по меньшей мере от двух переменных и принимающую все значений из .

< Предыдущая		Следующая >