09. Матрицы и их использование

Статистические, производственные показатели, а также расчеты, производимые на основе полученной информации, часто требуют сохранения результатов для их дальнейшего использовния. В этом случае создаются числовые таблицы, в которых информация в той или иной степени упорядочена. В таблицу могут быть внесены характеристики элементов какого-либо множества, параметры состояния системы и порядок применения операций, так как и операции могут являться элементами определенных множеств (в теории групп симметрии). Экономические и финансовые расчеты, которые являются наиболее широко используемыми во всех сферах деятельности человека (от семейного бюджета до бюджета государства), также должны быть упорядочены. Одной из форм такого упорядоченного состояния любой системы является наличие множества таблиц с определенной информацией. Возникает проблема оптимального использования таблиц, то есть проблема операций (действий) с таблицами данных. Рассмотрим конкретные примеры.

Пусть, в простейшем случае, ежемесячные затраты из семейного бюджета Y складываются из трех основных видов товара (Q1, Q2, Q3), приобретаемых в трех различных магазинах (МJ) по различным ценам (разного сорта). Количество товаров QЯ, купленных в январе и QФ, купленных в феврале, составят таблицы следующего вида:

.

Численное значение в каждой таблице, то есть ее элемент Qij, определяется двумя параметрами – индексами при Qi и Mj. Так, например, из первой таблицы Q12 = 15, а из второй таблицы Q22 = 4. Если количество индексов в строке таблицы или в столбце будет более десяти, то между индексами придется писать запятую. В общем виде каждая из таблиц может быть представлена следующим образом:

. (26)

Таблица элементов Qij, расписанных по M строкам и N столбцам, называется Матрицей. Если число строк и столбцов совпадают (M = N), то матрица называется Квадратной. Наибольшее число строк (или столбцов) в квадратной матрице определяют ее порядок.

Матрица товаров (26) является, таким образом, квадратной матрицей третьего порядка. Рассмотрим действия (операции), которые можно производить с матрицами.

Имея матрицы закупок товаров за каждый месяц, легко подсчитать количество товаров, приобретенных за два месяца. Для этого, действуя по смыслу, необходимо сложить числа в соответствующих местах обеих матриц. В результате получаем общую матрицу товаров.

.

Таким образом, матрицы Можно складывать по правилу: Qij = Qij(Я) +Qij(Ф). Очевидно, что если матрицы закупок за каждый месяц одинаковы, то при поиске общего количества товаров за k месяцев, каждый элемент матрицы необходимо сложить k раз, то есть умножить на k. В общем виде это записывается следующим образом: Q = KQЯ. Поэтому матрицы Можно умножать На одно и то же число.

Пусть теперь нас интересуют ежедневные затраты, производимые за три дня покупок товаров трех сортов в трех различных магазинах, то есть, в общем случае, по разной цене. Теперь мы имеем две матрицы: матрицу закупок товаров Q = {Qij} за три дня и матрицу цен P = {Pij} Товаров различного сорта в трех магазинах. Очевидно, что произведение количества товаров на соответствующие им цены, позволит определить произведенные затраты Y.

В таблицах закупок товара и цен использованы следующие обозначения: Д – дни ; С – сорт товара; М – номер магазина. Теперь опишем матрицу

Y = {Yij}, которая получилась в результате расчетов. Для этого выберем произвольный элемент, например Y23 , и рассмотрим процедуру его вычисления. Индексы при элементе указывают, что речь идет о затратах второго дня при покупке товаров всех сортов в третьем по номеру магазине. Для того, чтобы получить соответствующее число, необходимо выбрать из матрицы товара за второй день товары первого сорта (Q21) и умножить это количество на цену товаров первого сорта по ценам третьего магазина (P13). Затем сюда прибавить затраты на закупку во второй день товаров второго сорта (Q22) по ценам третьего магазина (P23) и, наконец, сложить с затратами за второй день по закупке товаров третьего сорта (Q23) по ценам третьего магазина (P33). В итоге получаем: Y23 = Q21· P13+ Q22· P23+ Q23· P33 . Можно заметить, что при сложении первый и последний индексы не изменяются, а суммирование производится по промежуточному индексу, стоящему между первым и последним. Поэтому для произвольного элемента матрицы затрат следует (по смыслу) составить равенство: , (27)

Где N – порядок матрицы Y. Таким образом, матрицы Можно умножать и правилом умножения является равенство (27).

 

(?): Как следует интерпретировать следующее равенство (28), в котором появляются матрицы – столбцы {Pij} и {Yij}? Заметим только, что второй индекс у элементов этих матриц можно опустить, так как он везде одинаковый.

(28)

Правило умножения матриц было в неявной форме использовано нами раньше (§2) при решении вопросов, связанных с поиском равновесия на рынке. Еще раз представим систему линейных уравнений (3) из этого параграфа: , которую перепишем следующим образом:

, (29)

где произведена замена: A1 = a11, b1 = a12, A2 = a21, b2 = a22, x = x1, y = x2, c1 = y1, c2 = y2. При этом смысл системы уравнений не изменился, а запись получила новую интерпретацию в матричной форме. Действительно, по правилу умножения матриц, будем иметь:.(30)

Теперь очевидно, что записано равенство типа (28), в котором использованы квадратная матрица второго порядка А = {АIj} и две матрицы – столбцы – для переменных (X1,X2) и (Y1,Y2). Первую из них обозначим Х = {ХI}, а вторую Y = {Yj}. Тогда вместо системы уравнений (29) будем иметь матричное уравнение: AX = Y.

Рассмотрим пример не связанный напрямую с рассмотренными выше экономическими проблемами. Речь пойдет о симметрии и ее описании с помощью преобразований систем координат.

Несмотря на то, что с реальными объектами всегда происходят какие-либо изменения (преобразования), существуют такие характеристики объекта, которые в результате этих преобразований остаются неизменными, т. е. сохраняются. Например, при изменении положения какой-либо фигуры можно заметить, что соответствующие этим изменениям преобразования системы координат (перенос, поворот) оставляют сохраняющимися (инвариантными) такие характеристики геометрической фигуры, как расстояние между его точками, углы между прямыми, площадь поверхности и т. п. (рис. 23).

Рис. 23. Движение фигуры (а) и соответствующее преобразование

системы координат (б)

Направленный отрезок 0А на рис.23а называется Вектором точки А и определяется координатами точки А (x1,x2), а направленный отрезок 0А’ называется Вектором точки А’(x’1,x’2).

Словами «расстояние АВ» или «расстояние АС» характеризуется то, как «относится А к В или А к С», т. е. задается Отношение. Можно представить себе, что точка пространства в заданной системе координат, как-то «относится» ко всем остальным точкам этого пространства. Существуют такие же отношения и для других точек пространства. Если у каждой точки «отношение» к остальным точкам такое же, как и у других точек, то пространство из всех точек «выглядит» одинаково и такое пространство можно охарактеризовать как Однородное.

Можно представить себе другой вариант, когда условие равноправности свойств точек пространства, связанных с сохранением расстояний, углов и т. п. не выполняется, т. е. пространство неодинаково «выглядит» из разных точек, тогда его следует охарактеризовать как Неоднородное.

Проверка пространства на однородность каких-либо характеристик, например, тех же расстояний и углов, осуществляется простым переходом от одной системы координат к другой и расчетом соответствующих характеристик. Параллельный перенос системы координат проверяет однородность по отношению к расстояниям, а поворот проверяет однородность по отношению к углам (последний тип однородности называют Изотропностью).

Будем понимать под Симметрией свойство объектов Сохранять определенные характеристики при преобразованиях. В свою очередь, преобразования, сохраняющие определенные свойства или характеристики пространства, объектов, структур, систем и т. п., будем считать Симметрическими преобразованиями. Так как при некоторых преобразованиях сохраняются расстояния и углы геометрических объектов, можно говорить о том, что Однородность и Изотропность есть Симметрические свойства пространства.

Очевидные соотношения, приведенные во многих справочниках по математике, связывают старую и новую Системы координат: или, в общем виде: . Более коротко обе системы уравнений можно записать следующим образом: , где матрица называется матрицей преобразований вращения.

Под R Можно понимать также определенную симметрическую операцию. Если после перехода из системы координат к системе координат какая-либо величина, зависящая от координат, не меняется, т. е. сохраняется, то можно говорить о «законе сохранения» этой величины.

В рассмотренном примере важно отметить, что преобразования симметрии записываются в матричной форме так же, как и в примерах экономических, связанных с расчетом затрат. Матрицы – столбцы, которые в последнем примере оказались геометрически связаны с определением вектора, получили обобщение при описании любой матрицы.

Всякая строка в произвольной матрице называется Вектор – строка, а всякий столбец называется Вектор – столбец.

Определение симметрии с помощью матричного уравнения, в котором векторы после симметрических преобразований остаются прежними, можно записать следующим образом: АХ = Х. На рис. 24 представлен пример мозаики, которая совмещается сама с собой после операции вращения на угол φ = 360о/5 = 72о. Этот тип симметрии называют симметрией 5 –го порядка.

 

(?): Каким преобразованием можно продолжить эту мозаику, чтобы в результате она занимала все большую и большую площадь? Мозаика становится фрактальной, так как эту процедуру можно продолжать, переходя как к бесконечно большим, так и бесконечно малым размерам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 24. Пример фрактальной мозаики с симметрией 5 – го порядка

Понятие симметрии явно или неявно играет ключевую роль при обсуждении вопросов Устойчивого развития региона или его экономики. Достаточно представить себе процесс развития периодическим (это тип трансляционной симметрии), секториальным с самоподобием (как в приведенной мозаике) или даже нелинейным, Устойчивая Тенденция роста всегда Носит упорядоченный (а следовательно, симметричный) Характер. Именно так решается проблема устойчивого роста в природе. Если Вам удалось понять, каким образом происходит расширение мозаики (рис. 24), то несложно получить формулу увеличения количества элементов мозаики (пятиугольников) после каждого преобразования:

Sn = 5(6N) = 5Qn, а сумма представляет собой геометрическую прогрессию Sn = Aq0 + Aq1 + Aq2 + …. + Aqn , с которой мы уже имели дело в §5 при анализе накоплений в пенсионный фонд. Поэтому можно говорить о том, что приведенная мозаика является геометрической моделью накоплений.

Возвращаясь к системе уравнений (3) в §2, можно заметить, что при поиске координат точки равновесия полученное решение (4) и (5) содержит в знаменателе дробей одну и ту же «конструкцию» (а1B2 – A2B1), составленную из элементов матрицы преобразований. В соответствии с матричным уравнением (30) эту разность представим в виде:

(A11A22 – A12A21). Полученное выражение ставит в соответствие всем элементам матрицы Определенное число, которое называется Определителем матрицы. Определитель (детерминант) матрицы обозначается символом Δ или D = det(A). Если в матрице выбрать элемент Aij и вычеркнуть строку и столбец, которым он принадлежит, то оставшиеся элементы составят новую матрицу с определителем Dij. Этот определитель с соответствующим знаком, зависящим от индекса элемента Ij, определяет число Aij, которое называется Алгебраическим дополнением элемента Aij: Aij = (-1)i+jDij. (31)

Лапласом доказана Теорема о том, что Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. На основе этой теоремы можно, последовательно вычисляя произведения элементов на их дополнения, получить определитель квадратной матрицы любого порядка. Важность операции вычисления определителя связана с упрощением поиска решения системы из большого количества уравнений с соответствующим количеством неизвестных.

Применение теоремы Лапласа рассмотрим на примере поиска определителя матрицы третьего порядка. При поиске определителя матрицу будем записывать, используя вместо скобок вертикальные линии.

.

Конкретные примеры на запись матричного уравнения по заданной системе и вычисление соответствующих определителей матриц приведены в Приложении I.

< Предыдущая		Следующая >