06. Понятие дифференциала и производной функции. Вычисление производных

Допустим, что на графике функции Y(X) (рис.14) производится предельный переход от точки X1 к точке X. Разность значений аргумента X – X1 =Δx называется приращением аргумента. Таким же образом можно ввести понятие приращения функции Δy = Y(X) – Y(X1). Тогда Предел приращения переменных величин X при стремлении X1 к точке X, и У1 к точке Y, если он существует, называется Дифференциалом (обозначается Dx или Dy) в этой точке (от слова differ (Англ.) – разность, следовательно дифференциал – бесконечно малая разность):

.

Для однородного пространства координат все точки равноправны, а поэтому все дифференциалы равны. Пусть Y есть функция от X , тогда приращение функции связано с приращением аргумента.

Если для любого X существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, то он равен отношению дифференциалов этих величин, называется производной функции Y(X) По переменной X И обозначается со штрихом Y’(X) (Или в общем случае F’(X)):

. (17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.14. К определению производной

Практический смысл производной заключается в том, что эта величина характеризует, во-первых, Скорость протекания процессов. Действительно, стоит переменной X (аргументу) придать смысл времени, а функции Y – количество произведенной продукции (Q) за определенный интервал времени, как производная будет характеризовать производственную функцию:– количество товаров, произведенных за единицу времени, то есть скорость производства товаров. Если функция Y(T) характеризует путь S, пройденный за определенный отрезок времени, то производная покажет скорость движения: – путь пройденный за единицу времени. С другой стороны, на соответствующем графике функции видно, что приращение одной величины (ΔY) к приращению другой (ΔX) определяется тангенсом угла наклона касательной АВ (рис.14) к оси 0X, проведенной в той точке, в которой определяется производная. Поэтому геометрический смысл производной понятен – это (во-вторых) Тангенс угла наклона касательной к точке. График функции Y(T) описывает траекторию движения точки (тела), а касательная – скорость этого движения в каждой точке, то есть мгновенную скорость, величину которой обычно показывают спидометры в автомобиле. Для цели описания движения точек по сложным криволинейным траекториям Ньютон первым «изобрел» дифференциальное исчисление и научился рассчитывать производные.

Еще одно применение производной можно предложить, анализируя, например, топографическую карту местности (рис.15). На графике высоты горы (в сечении) проведены приращения высот через равные расстояния по оси 0H. Соответствующая карта горы отражает в направлении оси 0X крутизну этой горы. Видно, что уровни высоты горы несимметричны относительно ее вершины, слева гора спадает более круто, чем справа. Это произошло потому, что одинаковым значениям приращений высоты Δh слева и справа соответствует различное приращение координат Δx. Поэтому величина отношения Δh/Δx для левой стороны будет больше, чем для правой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.15. Линии равных высот на карте горы

Крутизна горы слева больше, чем справа и такое же соотношение будут иметь пределы этих отношений, то есть производные. Таким образом, производная характеризует крутизну изменения функции. Латинский термин «градиент» по смыслу совпадает со словом «крутизна», поэтому, в третьих, Градиент есть наибольшая величина производной.

Градиенты играют основную роль в создании направленных процессов. Любое нарушение симметрии однородности (градиенты) создает потоки: передачу энергии, если температуры тел различны; создает селевые потоки, распространяющиеся в сторону низких высот. Градиенты условий в экономике создают финансовые потоки; градиент потенциала создает в проводнике электрический ток; различие в условиях жизни, какими бы параметрами эти условия не измерять, ведут к миграционным процессам и т. п. Таким образом, если Вы ищете причину какого либо направленного процесса, то ищите Нарушение симметрии или градиенты.

Производная в некоторой точке может оказаться равной нулю. Это возможно, если касательная к функции в этой точке параллельна оси 0х, что в свою очередь происходит тогда, когда функция в точке либо максимальна, либо минимальна, либо совершает перегиб (рис.16). Такие точки функции называют Точками экстремума или экстремальными точками и они определяют в экономике, в частности, наибольший или наименьший доход ( Y = R), полученный при продаже товаров ( X = Q). Допустим, что Вы проводите анализ работы рынка по результатам прибыли, полученной от продаж. Какая интерпретация событий могла бы привести к графику, изображенному на рис.16?

 

Рис.16. Экстремальные точки функции

Еще одно типичное использование производной связано с понятием Плотности. Часто встречаемое словосочетание – плотность населения связано с Отношением количества жителей в регионе к размерам площади, занимаемой регионом. Однако, полученная величина – количество жителей, приходящееся на единицу площади – не отражает деталей распределения людей, эта характеристика усредненная. Поэтому переход к детальной картине, в которой найдется место и для городов, и для поселков, и для пустынных мест требует в расчетах перехода к пределу Отношения (при стремлении размеров площади к минимальной), то есть к производной. Таким же образом, плотность вещества следует определить не просто как отношение массы вещества к величине объема, в котором это вещество распределено, а в виде производной: .

Подводя итоги вопросам использования производной, фиксируем, что производная имеет смысл Скорости (ускорения), величины Градиента, Плотности, определяет Экстремальные точки функции и геометрически характеризует Касательную в произвольной точке. Производная показывает как меняется функция при изменении аргумента На единицу его приращения.

Теперь рассмотрим примеры на вычисление производной.

1. Пусть мы имеем функцию Y(x) = x2 . Найдем производную этой функции в произвольной точке X . Приращение аргумента обозначим

ΔX = X1 – X , откуда следует, что X1 = X+ ΔX. Приращение функции обозначим ΔY = Y(X1) – Y(X) = X12 – X2. Тогда по определению производной через предел отношения приращений, будем иметь при X1 → X , то есть при ΔX→0 :

.

Окончательно записываем: .

VI. Обобщая полученный результат на любую показательную функцию, по аналогии можно записать (без вывода): (Xn)’ = Nxn-1.

3. Пусть Y = Sinx. Вычислим производную этой функции:

Окончательно получаем, что (sinx)’=cosx. При расчетах использованы соотношения: cosΔx→1 при Δx→0 и второй замечательный предел.

4. Пусть Y(X) = Ex. Вычислим соответствующую производную.

В расчетах использовано разложение экспоненциальной функции в степенной ряд (14) и переход к линейной функции (1+ΔX) при малых значениях аргумента ΔX. В результате оказалось, что производная от экспоненциальной функции совпадает с самой экспоненциальной функцией.

Другие, часто используемые производные, вычисленные на основе определения производной, стали «табличными» и занесены в любой справочник по математике. Приложение в методических рекомендациях содержит эти данные. Для вычисления производных от достаточно сложно представленных функций требуется знание основных правил дифференцирования, которые также записаны в методических рекомендациях. Остановимся на доказательстве некоторых из этих правил.

1. Правило дифференцирования произведения двух функций, зависящих от одного и того же аргумента: Y(X) = F(X)·G(X) или кратко Y = Fg. Если функции F(X) И G(X)Получили приращение, то и функция Y(X) Также получила приращение. Тогда можно записать, что Y + Δy = ( F +Δf )(G+ +Δg). Выразим отсюда величину Δy: Δy = Fg + F Δg + G Δf – Fg = F Δg+ + G Δf. Поделим левую и правую часть на приращение аргумента Δx и перейдем к пределам:

2. Правило дифференцирования отношения двух функций: Y = F/G .

Введем обозначение U = 1/G = G-1. Тогда будем иметь произведение функций Y = F U. Используя предыдущее правило, получим: Y’ = F’U + U’F. Найдем теперь производную Du/Dx.

Подстановка полученного выражения в равенство для производной искомой функции приводит к следующему результату:

.

3. Правило дифференцирования сложной функции.

По ходу выполнения действий для предыдущего правила был использован прием поиска производной от функции U, которая сама сложным образом зависит от аргумента X. Можно в общем виде записать, что U зависит от функции G, которая зависит от переменной X, то есть: U(G(X)) . Правило дифференцирования такой функции, которая называется сложной, очевидно из тех действий, которые мы уже произвели в предыдущем примере.

Пусть дана сложная функция y = u(g(f(x))) и необходимо найти ее производную по переменной X, То есть . Тогда очевидно равенство:

, которое и является правилом дифференцирования сложной функции. Например, для функции производная по переменной X рассчитывается следующим образом: вначале берется производная по экспоненте, которая равна самой экспоненте, а затем умножается на производную от показателя степени, то есть от функции F(X) по переменной X: .

Если от полученной производной, рассматривая ее как новую функцию, еще раз взять производную, то такая двойная операция от первоначальной функции называется Второй производной. Поиск второй производной можно представить по смыслу, как вычисление скорости изменения скорости, то есть как поиск Ускорения. Иногда в конкретных задачах требуется рассчитать производные более высоких порядков, чем первая или вторая, однако, технически вводить новых правил для таких действий нет необходимости.

Примеры поиска производных от различных функций приведены в методических рекомендациях.

Применим математический подход к реальной ситуации, складывающейся в каком либо регионе в момент начала эпидемии гриппа. Как известно, количество здоровых людей при этом начинает уменьшаться по экспоненциальному закону: N1 =N0E-T. Количество заболевших к моменту времени T окажется ΔN = (N0 – N0E-T) (первый «сценарий»). С другой стороны, при нормальной обстановке количество выздоравливающих людей увеличивается пропорционально времени, то есть по линейному закону: N2 = Kt + N0 (второй «сценарий»).

(?): Какая будет складываться обстановка, если продолжать лечить людей обычными методами в условиях эпидемии?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.17. Математический анализ эпидемиологической ситуации

На рис. 17 эта ситуация с двумя сценариями представлена в виде двух графиков, изображенных пунктиром.

Очевидно, что с течением времени, количество здоровых людей будет изменяться и это количество можно рассчитать как разность между выздоравливающими и заболевшими.

N(T) = N2(T) – Δn = Kt + N0 – N0 + N0E-T = Kt + N0E-T .

Приведенный расчет показывает, что для построения общей зависимости необходимо складывать значения функций N* = Kt и N1 = N0E-T В одинаковые моменты времени. Функция N* Отличается от N2 Тем, что из значений N2 Вычтена константа N0 , а следовательно график функции пройдет через начало координат. Результат сложения (по точкам) приводит к функции, которая имеет минимум. Это означает, что в момент TКр количество здоровых людей будет минимально или количество больных максимально. Этот критический момент можно рассчитать по условию экстремума функции – производная в этой точке обращается в нуль. Поэтому можно записать:

.

После логарифмирования получаем:

Окончательный вывод очевиден: чем эффективнее лечение, тем больше величина K и тем скорее будет пройден критический момент. Ценность математического подхода заключается не в том, что он подтверждает очевидные факты, а в том, что он позволяет делать количественный и временнòй прогноз со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Приведенный пример можно отнести к области математического моделирования.

< Предыдущая		Следующая >