01. Множества. Операции. Функция

Одним из основных первичных понятий математики является понятие Множества, как совокупности однородных Элементов в одной системе, где однородность (симметрия) определяется По наличию Единого, качественного или количественного Признака. Составленный список пенсионеров, находящийся в одном из отделов администрации области, является примером множества А с конечным числом элементов {Ai}, Принадлежащих А. Символически, принадлежность элемента множеству записывается следующим образом: . Очевиден и признак, по которому произошло отнесение записанных людей к этому множеству. Можно составить еще один список – участников войн (множество В с элементами {Bj}), среди которых есть и пенсионеры, но признак, по которому теперь произошло объединение совершенно другой. В то же время, список областных пенсионеров А, например, является частью общегосударственного списка P{Pk}, то есть Содержится в нем в качестве Подмножества. Символически, этот факт записывается таким образом: . Если, при назначении льгот, списки сливаются в один общий список D{Di}, в котором каждый элемент Di соответствует Либо пенсионеру, Либо участнику войн, без указания принадлежности к конкретному списку, то для множеств A и B в математике вводится Операция объединения: . Можно говорить при этом, что множества Складываются. Если в списках участников войн И пенсионеров встречаются общие фамилии, то есть существует «пересечение» фамилий, то они образуют подмножество C{Ci} Этих двух списков, которое получено Операцией пересечения: . При этом говорят о Произведении множеств А и В. При принятии решения о доплатах к льготам, часто складывается ситуация при которой бюджетных средств в области недостаточно для обеспечения объединенного списка D и даже для списков А и В, взятых по отдельности, но для пересеченных множеств, то есть для обеспечения списка С выделенных средств может оказаться достаточно.

Операция, традиционно понимаемая как сложение, по отношению к множествам неоднозначна: важно знать пересекаются ли множества между собой или нет, другими словами, могут ли они быть совмещены. При наличии пересечения для получения результата без повторений необходимо сложить списки А и В, а затем вычесть из них одинаковые фамилии, то есть множество С.

Для наглядного представления множеств и производимых с ними операций удобно изображать элементы множества точками на плоскости, а сами множества в виде кругов, внутри которых находятся эти точки (рис.1).

Рис. 1. Операции объединения и пересечения множеств

Если определенному Свойству элементов множества поставить в соответствие Меру этого свойства, то получится множество величин. В математике исследуются числовые множества R – действительных (вещественных) и С– комплексных (мнимых) чисел, I – иррациональных и Q – рациональных, N – натуральных и Z – целых чисел. Каждое из них обладает своими свойствами. Соотношения между числовыми множествами выглядят следующим образом:

В зависимости от обстоятельств или по условию, величины, составляющие множество, могут быть постоянными или переменными. Если в какой-либо науке в качестве элемента множества фигурирует событие, то для определения его мгновенного положения можно использовать пространственно-временную систему координат (X, Y, Z, T). В этом случае объединяются числовые множества координат и времени для построения математической модели меняющихся событий (процессов). Эти числовые множества часто являются упорядоченными по принципу «больше-меньше» или «раньше-позже», поэтому во многих случаях имеет смысл (вслед за Р. Декартом) использовать системы координатных осей X и Y, как представителей упорядоченных числовых множеств.

Рис. 2. К определению функции как отношения между X и Y (а).

Упорядоченные числовые множества на осях координат

И вариант отношения между ними в виде графика функции (б)

Анализируя причины и следствия любых процессов, можно строить соответствующие математические модели, задав Отношение между множествами, выражающими «причины» и «следствия». Например очевидно, что между количеством проданных товаров (множество Q) и доходом (множество R), полученным от реализации этих товаров, существует отношение, задаваемое с помощью цен (Р). При постоянной цене товара на рынке доход является Функцией от количества проданного товара, а поэтому можно говорить о том, что Отношение между множествами Q и R задается функцией.

Между множествами X и Y задано отношение в виде функции (Рис.2а), если каждому элементу Xi из множества X найдется соответствующий ему элемент Yi из множества Y, такой, что появление Xi влечет за собой появление Yi. Формально, отношение записывается следующим образом:

y = f(x) и читается как «y есть функция от x».

Исторически сложилось, что переменную величину X называют Аргументом (независимой переменной), а Y – зависимой переменной (Функцией), в то время как очевидно, что отношение характеризует закон F(X), связывающий переменные. Множество значений X, при которых переменные Y являются действительными конечными величинами, называют Областью определения функции, а множество соответствующих величин Y образуют Область значений функции. Говорят, что на множестве X задана функция F(X). Отношения между аргументом и функцией можно представить графически в декартовой системе координат (рис.2б), если на плоскости отметить точку (М) и опустить из нее перпендикуляры на оси координат. В этом случае, каждому значению аргумента с помощью точки М будет поставлено в соответствие определенное значение функции, а все отмеченные точки образуют множество отношений. На рис.2б это множество выглядит в виде жирной кривой линии (графика функции). Рассмотрим основные функции по мере их усложнения.

Следующая >