20. Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Будем рассматривать схемы численных методов для уравнения первого порядка
.
Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n - го порядка.
1. Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.
Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки
Рассмотрим равномерную сетку по
Пусть , тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде
, где
Подставим в из дифференциального уравнения
Тогда
.
Это – основная расчетная формула.
Учитывая в слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.
Если взять , то получим Метод Эйлера
2. Методы Рунге – Кутта.
Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .
Выберем
=
Разложим по h
= +=
Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой
.
И определим коэффициенты
.
Пусть , тогда .
Если . Тогда
.
= .
Это – Метод Хойна.
Если в формуле . Выбрать ,
То получим Явный M – шаговый (M – точечный) метод Рунге – Кутта.
Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта
В явных методах Рунге – Кутта значения вычисляются только по предыдущим значениям .
В Неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим, так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .
Неявный M – шаговый метод Рунге – Кутта Можно записать в виде
.
,
3. Методы Адамса.
Идея методов Адамса – использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка , а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»).
В формуле заменим интерполяционным полиномом Ньютона .
Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).
Возьмем , но интеграл будем брать по предыдущему отрезку . Тогда
Здесь - конечная разность - го порядка:
Подставляя эти разности, получим
(K – шаговый явный метод Адамса – Башфорта)
Пример. Получен Явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (Двухшаговый)
.
Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка:
Заметим, если задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения (каким-либо другим методом) . Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для , вычисляются значения правых частей , необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются .
Эта процедура называется «разгоном метода» и является обязательной в методах Адамса.
Неявные методы Адамса (Адамса – Мултона).
Возьмем , интеграл будем брать по отрезку . Тогда
Здесь - конечная разность - го порядка:
Подставляя эти разности, получим
(K – шаговый явный метод Адамса –Мултона)
Формально он записан в том же виде, что и метод Адамса – Башфорта, но разница существенна: в методе Адамса – Мултона в левой части уравнения присутствует , а в правой части присутствует . Поэтому приходится еще решать систему уравнений для явного определения .
Пример. . Поэтому имеем формулу
Метода Адамса – Мултона второго порядка.
Более точен Метод Адамса – Мултона четвертого порядка
.
Эти методы также требуют разгона.
Обобщением методов Адамса являются Линейные многошаговые методы
Если , то метод – явный, если , то метод – неявный.
Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы, например, методы типа Предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель – явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.
Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, а в качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.
Схема метода может быть записана в виде.
Р .
Е
С
Е
Метод Р «предсказывает», прогнозирует , вычисляется значение правой части, которое используется в методе С – «корректоре» для коррекции приближения , затем вычисляется более точное значение правой части, которое вновь используется в методе Р.
Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точности методов.
Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методах решения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов о сходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем и точности методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение , равномерную сетку на отрезке интегрирования .
Рассмотрим сеточную функцию - правую часть уравнения, определенную на сетке .
Введем аппроксимации производной:
, , .
Задача Коши (дифференциальная задача) заменяется Разностной задачей (Разностной схемой)
Или .
Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, что функции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.
- решение разностной задачи, - решение дифференциальной задачи, - сеточная функция, построенная по .
Сходимость разностной схемы с порядком .
Решение сходится к с порядком , если .
.
Аппроксимация с порядком .
Пусть задача имеет единственное решение.
Пусть (- невязка).
Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решении
с порядком , если .
Пример. Рассмотрим схему Эйлера для задачи .
Разностная задача , ,
. Поэтому
=. То есть, , следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.
Замечание. Ошибку аппроксимации Можно оценить по Правилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом , а затем с шагом И сравнивая решения: , где - порядок аппроксимации.
Устойчивость разностной схемы.
Разностная схема называется Устойчивой, Если Разностная задача имеет единственное решение такое, что .
Другими словами, при малых возмущениях Мало возмущается .
Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении с порядком и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к с порядком , причем . Здесь - константа аппроксимации, С – константа устойчивости.
Доказательство. Пусть , тогда по единственности решения (определение устойчивости) и определению аппроксимации . Тогда
(при имеем ).
< Предыдущая |
---|