11. Лекция 13. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые решения

Рассмотрим интегральные кривые дифференциального уравнения 1 порядка . В любой точке плоскости OXY правая часть дифференциального уравнения известна, ее можно вычислить. Поэтому в любой точке плоскости известна и левая часть. Левая часть, исходя из геометрического смысла производной, задает тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой.

Следовательно, в любой точке плоскости можно определить угол наклона (к оси OX) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т. е. определить Направление вектора касательной к интегральной кривоЙ.

Если в некоторой области плоскости задана вектор-функция, то говорят, что она задает в этой области Векторное поле.

Поэтому геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, что оно задает в области определения G (x, y) функции f(x, y) векторное поле Направлений векторов касательных к интегральным кривым. Если интерпретировать дифференциальное уравнение механически, как скорость f(x, y) движения точки по траектории – интегральной кривой, то дифференциальное уравнение задает Поле скоростей.

Изоклинами Называются кривые в плоскости OXY, в каждой точке которой угол наклона к оси OX касательной к интегральной кривой один и тот же . Уравнение изоклины: .

Строя изоклины как можно чаще, можно достаточно точно построить интегральные кривые, нанося на каждой изоклине соответствующее ей направление вектора касательной к интегральной кривой..

Пример.

Уравнение изоклины

		Уравнение изоклины
0	0	x=0 (ось OY)
1		y = - x
-1		y = x
		y = 0 (ось OX)

Можно предположить, что уравнение интегральной кривой (это легко проверить: ).

Таким образом, интегральные кривые – окружности с центром в начале координат.

Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.

Точка (x, y) называется Не особой точкой дифференциального уравнения первого порядка , если существует ее окрестность, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая.

Все прочие точки называются Особыми точками Дифференциального уравнения первого порядка .

Особым решением называется решение, все точки (x, y) которого – особые.

Пример.

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее решение и решение, не принадлежащее этому семейству – тривиальное решение .

Каждая точка оси OX – особая, так как через нее проходят как тривиальное решение, так и частное решение из семейства .

- особое решение.

Пример.

Заметим, что . Общее решение (иначе ). Кроме того, - тоже решение. - особое решение.

Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши, гарантирующие единственность. В самом деле, в том и другом примерах терпят разрыв при .