6.5. Общая схема исследования функций

Раздел дифференциального исчисления является мощным методом исследования функций и построения их графиков. Рассмотрим общий план исследования произвольной функции .

1. Найти область определения (иногда, область существования) функции;

2. Проверить, является функция четной или нечетной , периодичной или не периодичной;

3. Найти точки разрыва функции и установить их характер;

4. Найти стационарные точки из уравнения ;

5. По критическим точкам найти интервалы монотонности функции. Построить таблицу изменения знака производной функции;

6. По таблице найти локальные максимумы и минимумы функции (также наибольшее и наименьшее значения функции, если она определена на конечном промежутке );

7. Найти предполагаемые точки перегиба функции из уравнения

. По точкам разрыва функции и предполагаемым точкам перегиба установить интервалы выпуклости и вогнутости функции. Построить таблицу изменения знака второй производной функции;

8. По таблице изменения знака второй производной функции найти точки перегиба функции;

9. Найти все (наклонные и вертикальные) асимптоты;

10. Найти точки пересечения графика функции с осям координат;

11. Построить график функции (рекомендуется выполнять постро-ение в обратном порядке пунктов 10-1).

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

2. Она не является четной и не является нечетной.

3. Точка является точкой разрыва 2-го рода, причем

.

4. Стационарные точки найдем из уравнения

.

5. Критическими точками являются , следовательно, имеем интервалы монотонности

.

Построим таблицу изменения знака производной функции.

Интервалы
Знак	+		-
	Возрастает	Max=-7,8	Убывает	Не сущ.

Интервалы
Знак	-		+

6. Локальные максимум и минимум .

7. По точке разрыва функции устанавливаем интервалы выпуклости и вогнутости функции . Построим таблицу изменения знака второй производной функции

Интервалы
Знак	-		+
	Выпуклость	Не существует	Вогнутость

8. Точек перегиба у функции нет, .

9. Функция имеет асимптоты наклонную и вертикаль-ную .

10. Точки пересечения графика функции с осью найдем из уравнения :

С осью - из условия .

11. Построим график функции.

< Предыдущая