6.1. Исследование функций. Признаки монотонности функции. Задача исследования функции на монотонность

Определение. Функция называется Неубывающей (Невозрастающей) на интервале , если выполняется неравенство . Если имеет место строгое неравенство, то функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале .

Теорема.

1) Для того, чтобы функция не убывала (не возрастала) на интервале , необходимо и достаточно, чтобы

.

2) Если на , то функция строго возрастает (убывает) на .

Необходимость. Пусть функция не убывает на , тогда при имеем

Достаточность. Пусть на , тогда по формуле Лагранжа

.

Поскольку , то , т. е. функция не убывает.

Аналогично доказывается утверждение 2).

Замечание. Из строгого возрастания (убывания) функции на интервале не следует . Так, функция строго возрастает на , но .

В задаче исследования функции на монотонность следует определить критические и стационарные точки. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или существует, но равна бесконечности, либо производная равна нулю. Последние устанавливаются как решения уравнения . Стационарными точками называются точки, в которых производная равна нулю. Множество стационарных точек является подмножеством множества критических точек. Поэтому, если производная существует во всей области исследования функции, то следует найти только стацио-нарные точки.

Пример. Найти интервалы монотонности функции

.

Функция определена на всей числовой оси. Ее производная также определена на всей числовой оси. Поэтому найдем только стационарные точки функции, т. е. точки, в которых производная равна нулю. Для этого следует решить уравнение . Вся ось разбивается на интервалы . В первом интервале - функция монотонно возрастает, во втором - убывает, в третьем - снова возрастает.

< Предыдущая		Следующая >