1.01. Элементарная теория пределов. Понятие множества и операции над ними

Дать строгое определение множеству невозможно, т. к. оно относится к числу первичных понятий математики, таких как точка, прямая, линия и т. д.

Под множеством или будем понимать совокупность каких-либо элементов . При этом, если элемент принадлежит множеству , то записывают , если не принадлежит, то .

Если каждый элемент множества является элементом множества , то называется Подмножеством Множества и обозначают . Это свойство называется Частичной Упоря-доченностью Множеств. Очевидно, если и , то .

Множество, не содержащее ни одного элемента называется Пустым и обозначается . Очевидно, что для любого множества имеем .

Множество , содержащее все элементы в рассматриваемой задаче, называется Универсальным. Очевидно, что для любого множества .

Обозначения некоторых множеств:

N - натуральные числа;

Z - целые числа;

Q - рациональные числа;

I - иррациональные числа;

R - действительные числа;

С - комплексные числа.

Во множестве действительных чисел выделяют следующие числовые множества:

- интервал;

- отрезок;

- промежутки;

- открытые промежутки.

Операции над множествами:

1. Объединение или сумма множеств А и В:

Суммой (Или объединением) множеств А и В называют множество, содержащее все элементы, входящие во множество А или во множество В.

A B = { x A или x B }

Аналогичный смысл имеет сумма любого числа множеств .

Заметим, что для любого

2. Произведение или пересечение множеств А и В:

Произведением (Пересечением) множеств и называется множество, состоящее из элемен­тов, кото-рые принадлежат как множеству А, так и множе­ству В.

A B = {x A и x B }

Аналогичный смысл имеет произведение любого числа событий .

Очевидно, для любого , .

3. Разность множеств А и В:

Разностью множеств и называется множество, состоящее из элементов, входящих в , но не входящих в .

A \ B = { xA и x B}

Каждому множеству можно поставить в соответ-ствие другое множество - его Дополнение , состоящее из элементов, которые не входят в . Таким образом, .

Свойства операций над множествами проведем по аналогии с числами:

Для множеств: Для чисел:

1. A B = В А А + B = B + A

2. A B = В А A · B = B · A

3. (A B) C = A (B C) (а + B) + c = а + (B + c)

4. (A B) C = A (B C) (A · B) · c =A · (B · c)

5. (A B) C = (A C) (B C) (а + B)· c =(A · c) +(B · c)

6. А= A 0 + A = A

7. A A = A 1 · A = A.

Некоторые обозначения, используемые в математическом анализе:

- существует, найдется;

- для любого, любой;

- из левого высказывания следует правое;

- равносильность высказываний; необходимо и достаточ-но.

Следующая >